用Mathematica繪制微分方程的圖形
這里要介紹的是用Mathematica解微分方程（組），并按照響應的成果，進行相關畫圖，甚至進步履態模擬。
東西/原料
- 電腦
- Mathematica
方式/步調
- 1
給出微分方程y''(x)+y(x)==1，求其的通解：
DSolveValue[y''[x] + y[x] == 1, y[x], x]
獲得的通解是：c2*sin(x)+c1*cos(x)+1。
顯然，通解是不成能作出圖像的！
可是，我們可以對c1、c2付與分歧的值，再用Show+Table，把所作的圖放到一路（注重，年夜寫字母C是Mathematica的內部函數，是以，作圖的時辰，要把C全數換當作c）：
Show[Table[
Plot[1 + c[1] Cos[x] + c[2] Sin[x], {x, -2 Pi, 2 Pi}],
{c[2], -1, 1,0.5}, {c[1], -1, 1, 0.5}]]
- 2
用NDSolveValue 可求出微分方程的數值解（俗稱——特解）：
NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^6 + x + 1], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]
沒有給出公式，可是不故障作圖：
Plot[%, {x, -5, 5}]
- 3
求二元微分方程組的特解：
{xsol, ysol} =
NDSolveValue[{
x'[t] == -3 y[t] - x[t]^2,
y'[t] == Sqrt[3] x[t] - y[t]^3,
x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 100}]
把成果作為參數方程，來進行作圖，這是混沌現象：
ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 100}]
- 4
用互動結果演示一下上圖的作圖過程：
Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100}]
Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 100，0.1}]
Manipulate[ ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, a}], {a, 0.01, 10，0.001}]
- 5
這個讓我想到了聞名的“Lorenz吸引子”，需要知足的微分方程組是：
x' (t)=-10(x(t)+y(t) )
y' (t)=x(t)(-z(t) )+28x(t)-y(t)
z' (t)=x(t)y(t)-(8z(t))/3
“Lorenz吸引子”的每一個點由{x(t),y(t),z(t)}確定，t是時候參數。我們先來解出{x(t),y(t),z(t)}當x(0)=z(0)=0,y(0)=1時的數值解：
NDSolve[{x'[t] == -10 (x[t] - y[t]),
y'[t] == -x[t] z[t] + 28 x[t] - y[t],
z'[t] == x[t] y[t] - (8/3) z[t],
x[0] == z[0] == 0, y[0] == 1},
{x, y, z}, {t, 0, 200}, MaxSteps -> Infinity]
- 6
然后在三維空間里，畫出它的圖像：
ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t], y[t], z[t]} /. %], {t, 0, 200},
PlotPoints -> 50000]
注重事項
- 關于微分方程的相關理論十分豐碩，這里僅僅是涉及到一點“外相”，遠遠不克不及解決年夜大都問題。
- 今后，再慢慢的深切進修吧！
- 發表于 2018-06-22 00:00
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