得數學者得天下！理解數學，從糾正對數學的偏見開始？

若何理解數學？從改正對數學的成見起頭——得數學者得全國

整個宇宙就存在于一杯葡萄酒中，這是詩人的話語。物理學家費曼就此評論道：若是我們眇乎小哉的有限智力為了某種便利將這杯葡萄酒——這個宇宙——分為幾個部門：物理學、生物學、地質學、天文學、心理學等等，那么要記住，大天然并不知道這一切。

數學這門古老的學科履歷了數千年成長，在近一百多年來更是開拓出浩繁分支，分手出多種應用學科。而一般人所學的則是約400年前的解析幾何、300多年前的微積分、200多年前的線性代數，更新一些的可能包羅180年前的群論、120年前的拓撲學和數理邏輯。再后來的數學多被認為過于深邃抽象，難以得其門而入。

然而，這篇文章指出，這種印象不外是不妥教育導致的成見，數學學科雖多，但其理則一，數學中的每個臺階都是始于一個原始的理念，既不深邃也不復雜，都是研究來自天然界的問題。

撰文 | 其故

1.對于數學的遍及成見

當今的教育使得一般人都學過一些數學，并且進修的時候半斤八兩長（參看 [4] ），這使得良多人認為本身懂得數學，甚至妄談數學。但一般人所學的最新的也才是二百多年前的數學，往往對于近二百年來的數學全無所聞，所以不免對于數學有曲解甚至成見（參看例如 [5] ）。

妄談數學的人并非完全不懂數學，若是完全不懂倒不至于妄談了。問題在于近一百多年來數學有了龐大和底子的成長，一方面有了更深刻的理念，另一方面其應用范疇極大地擴展了。若是對此完全不領會，那么對于數學的觀點不免過于狹隘，的確可以說是管窺蠡測了。

教科書中“數學是研究數目關系和空間形式的科學”（參看 [1] ）這個教條，也是導致良多人對于數學有成見的一個原因。這個說法始于恩格斯，后來列入前蘇聯的教科書中，繼而進入我國的教科書。恩格斯是唯物本家兒義者，他否決將數學看作純粹意識的不雅點，認為數學所研究的是客不雅宿世界，而受時代的局限他還不領會群論（即使高斯也難以接管），所以從哲學上這對于恩格斯是最好的理解了。但現代人應該知道，數學的范疇很是寬廣，沒有鴻溝，是不克不及由研究對象來界心猿意馬的。即使俄國人也早已摒棄了這個教條。

多年前在數學界的一個會議上有專家呼吁，在數學界的陳述（如成長規劃）中不要再寫“數學是研究數目關系和空間形式的科學”這樣的話，因為它不僅過時、錯誤，并且對于數學的成長晦氣。這個建議獲得與會者的一致附和。但在數學界不克不及本家兒導的范疇，這個教條仍在起著誤導感化，使得良多人對于數學的領會局限于一個很狹小的規模，更不會本家兒動地將數學應用于以往不曾屬于數學的范疇。

如 [5] 中所看到的，良多網平易近認為“數學根本就是初等數學+高檔數學+算法+奧數”，“數學對良多人來說是死板的、深邃的、抽象的”，甚至是乏味的、無用的、無聊的。這是教育壟斷造當作的嚴重后果。

陳省身師長教師說過：“數學是一切科學的根本，數學的練習遍及的有效。”但對于數學有嚴重成見的人是不成能理解這兩句話的。

這些成見來自多方面的原因，此中一個主要原因是教育方面的掉誤。而改正成見對于數學教育是一個不克不及回避的使命。

2對于數學的成見的布景

如上所說，良多人對于數學的嚴重成見，是由不妥的數學教育造當作的。

數學教育有其特有的紀律（參看 [4] ），不僅進修時候長，應用普遍，并且需要激勵樂趣，培育科學的嚴謹性，因材施教，以及晉升科學理念。

數學教育范疇有一個共識，就是一個現代人進修數學的過程大體上沿著數學成長史的過程，近似于一個胎兒當作長的過程大體上沿著生物進化的過程。胎兒的發育過程大體要顛末從單細胞生物到人類的進化過程，要顛末近似原活潑物、腔腸動物、脊索動物、靈長類等各個階段，最后才長當作人類的樣子。而進修數學的過程，要先走過稀有萬年汗青的識數過程，再進修古典（稀有千年汗青的）代數和幾何，再進修更近代的內容，直到費爾馬和笛卡兒成立的解析幾何，而后可以進修微積分及更近代的數學。識數的時候半斤八兩長，可能在數學的進修中占泰半，這和數學史上人類識數的時候長是一致的。

是以，判定一般人（尤其是中學生）的數學程度的根基尺度是汗青的，即看他懂的是哪個時代的數學。

現在的數學文獻浩如煙海，良多人輕易有一個錯覺，就是數學的成長就是數學研究當作果的堆集。那么，當作果越積越多，遲早會使得任何人都不克不及周全把握，甚至只能懂得此中很狹小的一部門。其實否則，當作果的堆集是華羅庚師長教師所說的“由薄到厚”的過程，但他還說過有一個“由厚到薄”的過程，這生怕不是良多人都大白的。

對于數學，良多人崇敬技巧高的人，甚至看不起技巧不高的人。良多人覺得數學是伶俐人的游戲。

其實數學的成長偏向，是老的數學越來越當作熟，越當作熟就越簡單，越輕易，越接近通俗人。這個過程，本家兒如果經由過程理念的晉升來實現的。

舉例說，中學平面幾何中有良多習題是很難的，即使很好的學生也未必都能做出來。這樣的習題對于熬煉學生摸索息爭決問題的能力是有益處的，但良多習題難在對解題方式的苛刻限制，即只能利用平面幾何教程中教學過的方式。若是學領會析幾何，對此中良多習題就可以成立坐標系經由過程計較來解決，不需要什么技巧，難度也大為降低，通俗學生都能做出。即使對于很好的學生，像上面那樣做平面幾何難題也應適可而止，有精神和樂趣可早些進入解析幾何，那么以前學的良多方式和技巧即使忘失落也沒有關系，不需要全都記住而當作為繁重的承擔。這就是“由厚到薄”的過程。

再舉個例子：球的體積如何算？在高中教科書中是用祖暅道理計較的。祖暅道理自己就不很輕易懂，而操縱祖暅道理計較球的體積，需要半斤八兩高的技巧，現實上大大都高中生沒學大白。更大的問題是，若是換一個計較體積的問題，還得再追求新的方式，無法包管必然能算出來。可是，若是學了微積分就會算良多面積、體積，此中球的體積只是一個很輕易的問題。這樣，學了微積分就可以“忘失落”良多計較面積、體積的初等方式和技巧，這也是“由厚到薄”的過程。

不幸的是，良多中學教師所教的，良多中學生所學的，是在“初等”條理上頻頻操練，把握“題型”和技巧等（都屬于“由薄到厚”的規模），然而這樣的學生無論“題型”把握了幾多，技巧有多高，比起一個學好了微積分的學生仍是差一個檔次。簡言之，前者的數學程度還在牛頓的時代之前，后者已進入近三百年。

由此可見，良多中學生，尤其是伶俐學生，將大部門時候和精神花費在進修初等“題型”和技巧上，是很大的華侈，有那功夫，數學闡發、高檔代數等更高的臺階都能上去了。不僅如斯，還常見他們很猜疑，問諸如“數學有什么用”之類的問題，因為他們做的良多習題，學的良多“題型”和技巧，并無應用布景（除了測驗以外）。反之，例如學了微積分就會算良多面積體積，天然就不會問“數學有什么用”了。

理念的晉升，遠比技巧的提高主要。以解析幾何為例，若是一個學生顛末進修，深刻體會了代數與幾何的內涵聯系，那么在多年后即使健忘了教科書的大部門細節，碰到問題仍能本家兒動地將代數與幾何問題彼此轉化，其立異能力毫不是僅把握了良多技巧（即使不忘）的人所能比的。

還有一個對于數學的曲解源于“高檔數學”這個詞，其實它只是高檔黌舍非數學專業的根本數學課程的名稱（這個名稱當然不得當，國外都不消，但國內沿用了多年很難改），并非“高深”，更不是“最高”。其內容為大約三百年前的數學，本家兒如果牛頓（1643-1727）時代的數學，最高的也不跨越歐拉（1707-1783）時代。某些非數學專業的學生還需要進修更深一些的數學，例如電工專業的學生要進修拉普拉斯變換、傅里葉變換等二百年前的數學。

說到這里可能有些讀者望而卻步：需要學的數學這么多并且越來越難，怕是這輩子沒法學好了。其實否則，即使是一個小學生也可能有很好的數學本質，而中學生中有良多可以達到半斤八兩高的數學本質。數學學科雖多，但“其理則一”，都是研究來自天然界的問題，在這一點上與其他科學并無分歧，所分歧之處是其絕對真理性（參看 [8] ）。一小我的數學本質的標記不是數學常識的幾多，而是數學理念的高度。下面我們會對此具體詮釋。

3數學中的“臺階”

現代數學的規模很是廣，國際數學家大會有19個分會場，就是說即使粗分也有19個風雅標的目的。要想周全領會這些偏向當然很不輕易。固然數學有良多分支，但“其理則一”，每個分支只是在某一個方面出格深切，但毫不是孤立的，不該將數學看作一些互不相關的分支或課題。若是對數學的某一個偏向有了深切領會，形當作很好的數學理念，那么就有利于理解其他偏向。

數學的成長不僅是內容的豐碩，并且有理念的晉升。每個主要的新理念會促進數學的整體成長，影響到良多數學分支甚至數學以外的學科。在根本數學方面，這樣的新理念有：約 400年前的解析幾何，300多年前的微積分，200多年前的線性代數，180年前的群論，120年前的拓撲學、數理邏輯、李群，80年前的整體微分幾何、概率論，此后更多，有復幾何、模空間、動力系統、算術代數幾何、幾何闡發等等。

由此，進修數學不該僅僅是常識的堆集，還應慢慢提高哲學理念，如一個一個地上臺階。

解析幾何、微積分、線性代數都是近代數學的“臺階”，近二百年來這樣的臺階更多，下面選幾個做簡單介紹。

1 群論

“群”是1820年月伽羅瓦在研究代數方程的一個堅苦問題時發現的。群論在解決這個難題時的感化充實顯示出它的壯大，逐漸引起數學界的遍及存眷。由此開創了數學的一個全新范疇，其汗青意義是無論若何估量也不會過度的。

由今天的目光看來，群的底子布景是物理的活動。在群論發生之前，盡管活動是數學不克不及回避的一個課題，但還沒有一個系統和壯大的東西。群論的發生不僅使數學有了新的成長偏向，并且有了新的理念，從而使群論滲入到數學的其他范疇，改變了整個數學的面孔。一個典型的例子是克萊因的“愛爾蘭根綱要”，將變換群看作幾何的焦點課題；另一個典型例子是索弗斯·李將群論應用于微分方程的研究，發生了李群論。

同時，群論也進入了數學之外的范疇，當作為物理、化學等學科的主要東西和焦點課題。

由此可見，不懂群論的人對于數學的理解，與現代數學其實相距太遠，所以不免偏頗。

趁便說一點題外話。此刻中學數學教程中的“調集”概念，原本是因為群論的需要而發生的，因為群既不克不及詮釋為“數目關系”也不克不及詮釋為“空間形式”，只能詮釋為“調集”。但群是無法回避的，因為它在數學中處于焦點地位。由此調集論也就成長起來（現實上到20宿世紀才當作熟），進而當作為整個數學的一種便利的說話。

在中學數學教程中是否應該講“調集”，其實是很值得思疑的。其一，引入調集的說話不外是為了授課便利，但可能是教員便利了學生苦了（因為“調集”例如程、直線等更抽象，因而對于良多學生更費解）；其二，調集概念對于進修中學數學的各課題都不是必需的（早年的中學數學教程中都沒有調集，但同樣可以講得很好，并且并不影響學生的數學本質）；其三，若是沒有本色性的應用，花了良多時候進修“調集”卻不克不及獲得什么現實的益處，是很大的華侈（學生質疑“有什么用”的一個本家兒要對象就是調集）；其四，在中學課程中不成能系統地講清調集論的根基概念，至多只是“樸實直不雅”罷了，但這樣的直不雅是不嚴謹的（在這方面，數學界也只是在羅素發現“調集論悖論”后才大白）。

2 拓撲學

拓撲學是 1900年前后以龐加萊為首的法國粹派成立的，研究持續變形下的空間整體布局。下面一個例子可以詮釋整體性和局部性的區別。

球面和環面（圖1）的局部布局是一樣的，若是在球面或環面上取一小塊（如圖1中的小圓片），它們的布局都等價于平面上的一小塊；但球面和環面的整體布局是判然不同的，若是將球面想象為橡皮的，可以隨意拉伸變形，甚至還可以剪開翻個身再按原縫粘歸去，那么不管如何做這樣的“拓撲變換”，也仍是不克不及把球面釀成環面。用拓撲學的術語說，就是球面與環面不“同胚”。由此可見，即使完全領會局部布局，仍然可能對整體布局毫無所知。

圖1

20宿世紀的數學與此前的數學比擬，最顯著的特點就是整體性。粗拙地說，20宿世紀前的數學都是“局部的”數學，即使涉及整體的研究對象（如射影空間），也是采用局部的研究方式。研究整體性的底子方式是從拓撲學的成立起頭的。而關于整體布局的研究，是在此前關于局部布局的研究已經半斤八兩當作熟的根本上發生的。

拓撲學給出數學的一個新的深刻理念，這個理念和各類方式逐漸滲入到數學的其他范疇，改變了整個數學的面孔，而且影響到數學之外的學科如物理、化學等。

不懂拓撲學的人，對現代數學也不免有曲解和成見。

3 整體幾何

空間不僅有拓撲布局，并且還有其他布局如微分布局。如上所說，早期微分幾何是“局部”的微分幾何，但關于整體的問題是有的，只是沒有系統的方式和東西。在1930年月拓撲學已有了堅實的根本，進一步將其他布局插手應該提到研究日程中來。在解決具體問題中，陳省身做了這一開創性的工作，從此發生了“整體微分幾何”。

此后，整體微分幾何的理念和方式滲入到數學的其他范疇，如多復變函數論、代數幾何、數論等，改變了整個數學的面孔，而且影響到數學之外的學科如物理等。

4 幾何闡發

在1970年月，丘當作桐在解決卡拉比猜想中采用了硬闡發（微分方程的深刻方式和成果），這一新的有力方式可用于解決良多其他難題，從而發生了一個新的學科“幾何闡發”，這是現代數學中最富有活力且成長最快的范疇之一，且影響到數學之外的學科如物理等。

由上面這些例子不難看出，每一個“臺階”都有新的哲學理念。是以，在進修數學時每上一個臺階，數學程度城市有素質的提高，是沒有上這個臺階的人所無法比擬的。不僅如斯，每個臺階一旦上去，終生都不會下來了。

上一個臺階很難嗎？其實未必，因為每個臺階都是始于一個原始的理念，既不深邃也不復雜，更沒有上面所說的“技巧”。良多人上不去卻是因為心理障礙造當作的，具體地說，若是對于數學已經有了當作見，那么碰到一個新的理念與當作見沖突時，就可能從心理上拒絕接管。

4數學派生出的交叉學科

良多介紹數學的感化的文章，會介紹數學的應用范疇：物理、化學、生命科學、工程、大數據、人工智能、機械人等等。但非專業的讀者一般只能膚淺地輿解。

我們可以從另一個角度申明數學的感化。近一百多年來，數學的應用發生出良多新的交叉學科，它們原屬于數學，但后來自力出去。這樣的大學科有十幾個：統計學、辦理科學、計較機科學、系統科學、非線性科學、邏輯學、經濟學、機械證實、博弈論、編碼與暗碼學等等。

我們下面做一點簡單的介紹。

01 邏輯學

邏輯學本來屬于文科，那時并沒有嚴酷的科學方式。直到大約一百年前，數學的方式進入了邏輯學范疇，此后從底子上改變了邏輯學的面孔（參看 [3] ）。

起先是“命題演算”的發生，由此可用數學方式做“零級邏輯”推理。例如此刻常見的“推理操練”題都可以轉換當作數學運算，并且可以機械化（即用電腦計較解決）。由此還發生了“布爾代數”。后來進入更深一級的“謂詞演算”，現實上一般的數學命題都含有“謂詞”（“存在”或“一切”），如加法互換律的精確陳述是“對肆意兩個數 a、b，都有 a+b=b+a”，平面幾何中的第一條連系正義的精確陳述是“對肆意兩個點，存在一條直線同時顛末它們”。命題演算和謂詞演算形當作一個新學科“數理邏輯”。

在今天，數理邏輯已經當作為一個規模很廣且內容深刻的學科，影響到良多其他范疇，如純粹數學、計較機科學等，它素質上是研究邏輯的科學方式。由此，今天不懂數理邏輯的人是沒有資格研究邏輯學的。

02 統計學

統計學本來也屬于文科，那時并沒有嚴酷的科學方式，所用到的數學很初等。直到1930年月概率論奠基根本后，發生了“數理統計”這個新學科，從此統計有了科學的研究方式，從底子上改變了統計學的面孔。

從今天的目光看來，統計的根基使命是“大數據處置”。因為大數據難以避免“恍惚性”，所以概率論是不成或缺的根基東西。但今天統計學中所需要的數學東西遠不止概率論。

在今天，統計學的研究者若沒有很好的數學本質，是不成能在高端的統計學雜志頒發文章的。

統計學的普遍應用使其當作為一個很發財的學科。在良多高程度的大學里，統計系不僅自力，并且比數學系大。

03 運籌學

運籌學可以看作應用數學的一個方面。在良多應用數學問題中有特心猿意馬的“方針”，例如速度、質量、當作本、效率等，但愿對此方針做得盡可能好。在數學中這稱為“優化”，它經常可以表達為一個函數的最大值問題。

運籌學普遍應用于工程、經濟、城市規劃、金融、軍事等良多范疇，是一個很發財的學科。在今天，良多高程度的大學里有運籌學系（如加州大學的 IEOR），比數學系大得多。

04 信息科學

“信息”是一個物理對象，但并沒有進入古典的物理學。信息科學的成立發源于噴鼻農在1940年月對通信的研究。

通信會碰到噪聲干擾，噴鼻農追求一個可以描繪“紊亂水平”的物理量，他發現所獲得的公式竟與熱力學中“熵”的公式一致，就把它也稱作“熵”。多年后顛末良多人的研究，終于大白“信息熵”與熱力學熵的一致性。由此可見，噴鼻農的“熵”揭示了一個深刻的物理奧秘，有極主要的哲學意義。

信息科學也是從數學中派生出來的，公認 1948 年噴鼻農頒發的論文“通信的數學理論”是信息論的奠定之作。

在今天的“信息社會”中，信息科學所起的感化無疑是龐大的。現代信息科學是一個自力學科，但其數學性很強。

05 節制論

與“信息”相似，“節制”也是一個物理對象，但并沒有進入古典的物理學。

一般認為1948年維納頒發的《節制論——關于在動物和機械中節制和通信的科學》一書是節制論的奠定之作。維納將節制論看作是一門研究機械、生命社會中節制和通信的一般紀律的科學，是研究動態系統在變的情況前提下若何連結均衡狀況或不變狀況的科學。這也是有極主要的哲學意義的。

節制論也是從數學中派生出來的。在今天，節制論的思惟和方式已經滲入到幾乎所有的天然科學和社會科學范疇。

泛言之，運籌學、信息科學、節制論等都可以歸入“系統科學”這個大類。

06 編碼與暗碼學

在通信中常要將字母轉換為數字旌旗燈號，這就是“編碼”。編碼的方式多而廣，例如為了通信保密居心改編原文（即“加密”），但要使領受者可以或許再改編回原文（即“解密”）。這方面的成長形當作了“暗碼學”。

編碼的感化遠不止于保密。另一個主要感化是“糾錯”。在通信中不免呈現旌旗燈號傳輸錯誤，采用恰當的編碼可以削減錯誤，或在發生錯誤時主動改正。在計較機和收集中大量利用編碼。

最早的編碼可能是由“伶俐人”拍腦殼想出來的，但編碼的深度成長離不開數學。常用的數學東西有代數、數論、組合學等，但不解除利用其他數學方式。

07 計較機科學

計較機最早的使命方針是將數學計較機械化，其可能性建筑在早期的數理邏輯根本之上。因為這個布景，數理邏輯是今天計較機專業的學生都要進修的根本課。

計較機發現出來今后，在利用中碰到良多新問題，如計較機系統布局闡發、計較機靠得住性論證等，遂形當作專門研究這些問題的一個新學科，即“計較機科學”。

當今的計較機科學是數學、電子科學、信息科學等學科和手藝科學的交叉。不外早年的計較機科學是由一些數學家奠基根本的。我國計較機科學的創始人滿是數學家。

計較機科學所用到的數學遠不止數理邏輯，數學物理的良多東西都要用到，此外還有“離散數學”、代數、拓撲等。

08 數理經濟學

與統計學相似，早年經濟學所用到的數學很初等，但19宿世紀有一些經濟學家利用了較深的數學，后來他們的工作被稱為“數理經濟學”。不外現代的數理經濟學本家兒如果1960年月今后的工作，這些工作所用到的數學半斤八兩深。

在今天，經濟學的研究者若沒有很好的數學本質，是不成能在高端的經濟學雜志頒發文章的。

09 博弈論

博弈論始于1920年月策墨羅、波萊爾、馮·諾依曼等數學家研究匹敵性的游戲，而對策不僅存在于游戲中，也存在于生物行為、經濟、軍事、政治、社會關系、交際等范疇，所今后來有了普遍的應用。

有多位博弈論專家獲得諾貝爾經濟學獎。

10 數學機械化

數學機械化發源于機械證實問題，即可否用計較機來證實一個數學心猿意馬理。1976年計較機被用來證實圖論中的四色心猿意馬理。不克不及等候用計較機證實一般的數學心猿意馬理，但可期望對某個數學范疇有一個一般的方式，可以證實限制規模的所有心猿意馬理。

1970年月，吳文俊給出了歐幾里德幾何中一般的尺度類型心猿意馬理的機械證實方式，這可以理解為一大類數學心猿意馬理可用計較機證實。后來實現的計較機程序，可經由過程人機對話將問題輸入，計較機可主動尋找有關所輸入的幾何圖形的所有心猿意馬理，并給出每個心猿意馬理的證實（證實一般較為冗長但人可讀，參看 [10] ）。具體的實現過程利用符號計較。

數學機械化可使數學證實的工作大為減輕，不需要傷腦子的工作即可解決。它可以看作一種人工智能。上述機械證實不僅比AlphaGo早得多，也強得多（AlphaGo只能大要率地包管給出解決方案，而上述機械證實能絕對包管給出解決方案）。

迄今為止在其他多個范疇也稀有學機械化的研究，但尚未在其他范疇獲得如歐幾里德幾何范疇那樣完美的成果。

11 辦理科學

辦理原屬社會經驗范疇，并無根基的科學的方式。自 1920 年月后數學家測驗考試用系統科學的方式研究辦理，逐漸發生了辦理科學。

我國的辦理科學的開創者都是數學家。

12 非線性科學

“線性”是數學中的一種具有普遍應用的性質，例如在通信中需要將旌旗燈號放大而不改變旌旗燈號的布局，這就是“線性放大”。但另一方面，通信中的載波、檢波等要改變旌旗燈號的布局，這是需要經由過程非線性的方式才能達到的。

“非線性”現象在物理學、天文學、地球科學、生命科學等良多學科和公共工程、電子手藝等良多應用范疇遍及存在，所涉及的問題相距甚遠，但在數學上有共性。由此形當作一個專門研究非線性的交叉學科。

13 金融數學

信貸、股票、期貨、保險等金融課題的研究離不開數學，并且深切的研究需要半斤八兩多的數學東西如微積分、概率論、組合學、微分方程等等。甚至還用到一些高深的數學東西，例如山東大學彭實戈傳授因對“倒相隨機微分方程”的研究當作果而受邀在國際數學家大會上做一小時陳述，就是因為這項當作果可以應用于金融。

在 1950年月后，數學在金融研究中的日益主要感化形當作了金融數學。當今不懂金融數學的人很難在高程度的金融雜志頒發論文。

14 精算學