法國數學家龐加萊曾經提出一個問題：既然數學的證據成立于所有正常心智都能接管的邏輯法則之上，那么，為什么有人不睬解數學呢？這是若何發生的呢？這個問題無疑牽扯到數學教育，以及數學和人類認知的關系等問題：數學是天然界的客不雅紀律，仍是人類大腦純粹的本家兒不雅機關？我們要如何才能學好數學？

前不久，首都師范大學特聘傳授李克正在一場名為“若何學數學”的專題講座上切磋了這一問題。本文按照講座內容清算而當作，但愿對您會有所開導。

撰文 | 李克正（首都師范大學特聘傳授）

這個標題問題欠好講，因為每小我應該按照本身的環境找到最適合本身的進修方式，即使只是要給某一個同窗提建議，也得先對這個同窗有充實的領會。

但反過來看，常見良多人對于數學采納的不恰當進修方式，卻是有良多配合之處。簡言之，準確的道路各不不異，錯誤的道路卻常類似。我們就從這個角度起頭會商。

0 不要相信“教育學家”的話

良多人覺得數學教育屬于教育學的規模，其實不合錯誤。數學教育有良多本色上的特別性，在教育學的教科書中完全沒有涉及。例若有教育家說進修常識的一般方式是“理解+記憶”，這對于進修數學就不合用。

良多中學雇用數學教師，寧可要數學專業身世但沒學過教育學的，也不肯要教育學身世但數學根本虧弱的。不久前我看到美國一個數學教育范疇的傳授說，他的最差的學生都是教育學身世。

邇來中國和美國的良多數學教育方面的專家在會商教育學家對于數學教育的危險，但這分開本陳述的標題問題較遠，所以我們僅僅提醒大師不要被某些“教育學家”誤導。應該針對數學進修的特別性來會商。

那么，與其他學科比擬，數學進修有些什么特別性呢？

（1）數學底子上來自天然界，是以進修數學要擁抱天然，出格是要避免離開天然。

（2） 進修數學的最強動力是樂趣，是以培育樂趣對于學好數學至關主要。

（3） 進修數學需要嘗試，嘗試的質量對于數學進修的質量有主要影響。

（4）數學的內容極為廣漠，是以進修的內容 （包羅教科書）的選擇極為主要。

（5）數學競賽對于激勵數學樂趣和提高數學程度有主要的感化，但要避免一些誤區。

（6）數學是科學，所以進修數學應該用進修科學的方式，而不是用例如進修手藝或律例的方式。

（7）進修數學的過程不僅有常識的堆集，并且有理念的晉升，為了培育數學本質尤其需要因材施教。

我們下面針對每個特點講得具體些，可否講完并沒關系，只但愿同窗們能看到一些要點。是以，若是有問題請隨時提出。

1 進修數學要擁抱天然

起首問大師一個問題：

數學是天然界的客不雅紀律，仍是人腦子中的純粹本家兒不雅的工具？

不要求大師頓時回覆，因為這個問題即使在當作年人中，甚至在科學家中也一向有著激烈的爭論，是個底子性的哲學問題。

徹底的唯物本家兒義者認為，數學底子上來自天然界，是以進修數學要擁抱天然，出格是要避免離開天然。一些數學家（如小平邦彥）采用“數覺”這個術語，即對于數學對象的物理直不雅。

然而一種很是遍及的不雅點是：數學是“理論科學”，只是動動腦子的事，“數學對良多人來說是死板的、深邃的、抽象的”（參看參考文獻 [3]），甚至是乏味的、無用的、無聊的。更有些極端的觀點，否定數學是科學，否定數學所研究的是天然紀律，認為天然數純粹是人腦子里的工具，或者是“存在于天上的純粹理型”，或者純粹是文字和符號的游戲，等等。抱著這樣的立場進修數學，不免離開現實，甚至完全沒有“數覺”。

進修數學不是只要熟悉數字，會寫會算就行。起首要理解天然數的“天然”意義，沒有“數覺”卻盡管操練記數、計較等，是學不懂數學的。

小學生做良多數學應用題，中學生卻很少做甚至不做，其實中學生更應該做，這是回歸天然的一個主要路子。什么樣的習題是“天然”的呢？這不太輕易說清晰，但“天然”的反義詞是“人工”，那些在天然界中不存在的現象，報酬編造的前提，牽強附會的假設，與數學無關的說話障礙或陷阱等都屬于這一類。例如小學教科書上有個標題問題：

在一個倉庫里有良多葡萄，顛末一段時候因為水分蒸發重量變輕了。重量少了幾多呢？

謎底是 50% 。

這樣不“天然”的習題很常見。

華羅庚師長教師昔時做數學普及陳述，經常舉日常糊口中應用數學的活潑例子。如

蜂巢為什么最省材料？

什么樣的茶葉桶蓋失落不下去？

街口的紅綠燈應該如何設計？

蘇聯導彈試驗場的奇異外形申明了什么？

這些陳述都給了聽眾們很是深刻的印象，一個主要的原因就是此中有良多天然的例子。

還有一種常見的論調，說糊口中只需要用到小學的數學，更深的數學沒用。現實上此刻大大都人學的數學都是很當作熟的數學，只要學通了都很有效。為了讓同窗們本身有所體味，這里留一個小學程度的習題。

習題：

某商鋪舉辦返券發賣勾當，小萌和媽媽傳聞后一路去逛商鋪，但愿能“淘”到幾件日常平凡舍不得買的工具。到店里看到這樣的法則：

采辦服裝類每付現金 100 元返回禮券 80 元，鞋類每付 100 元返券 60 元，器具類每付 100 元返券 40 元，所付現金不足 100 元的部門不返券，所返的券可在返券發賣勾當時代在店里買任何商品。

媽媽看中一套衣服，標價為 498 元；小萌看中一雙活動鞋，價錢為 320 元；媽媽還想買一套炊具，價錢為 245 元。如何買才能盡可能省錢呢？

中學生在數學的應用方面應該比小學生有更高的要求，不僅要會做應用題，并且要可以或許將現實工作中的問題轉化為數學問題并予以解決，就是說要培育數學建模的能力。

陳省身師長教師說過：“數學是一切科學的根本，數學的練習遍及的有效”。但對于數學有嚴重成見的人（包羅缺乏數覺的人）是不成能理解這兩句話的。

2 培育數學樂趣

數學揭示天然界的紀律，而人原本就屬于天然界，領會天然界的欲望是人類的本能，是以對數學的樂趣是可以天然地形當作的。可是，若是學的或做的是不天然的數學，則無助于培育數學樂趣，甚至會危險數學樂趣。

進修數學的最強動力是樂趣，比其他動力如功利、聲譽甚至強迫等的動力都要大。遺憾的是，我碰到過一些同窗原本很喜好數學，后來卻因為不妥的數學教育變得不喜好甚至恨數學。

陳省身師長教師給小學生的一個題字是“數學好玩”。不知在座的有幾多同窗感覺數學好玩。

常州懷德苑小學的大大都同窗都很喜好數學，他們在校園里處處城市受到數學的陶冶（見下圖）。他們上數學課也常是在玩中學。該校還寫了一本書《玩數學》（參看參考文獻 [9]），系統地申明了在這方面的理念、成就和規劃。

校園里的“數學”。

3 數學嘗試

作為科學，數學發生于嘗試，在這一點上與物理、化學等都是一致的。分開天然界，數學底子不成能存在——不成能發生。最早的數學研究對象—— 天然數的客不雅存在，是一個物理事實，人類只是“發現”而不是“發現”了天然數。

小孩子扳著手指數數，就是一個數學嘗試（當然是很簡陋的）。小時辰玩的一些玩具中也有簡單的數學嘗試。作為計較東西已經裁減的算盤，也是一種數學嘗試設備，它的數學教育功能尚未完全過時。在初中數學教育中，本來也有必備的通用嘗試東西—— 圓規和直尺。

一個班的學生中一般總有幾個學得欠好的，良多人將此簡單地歸因于這些學生“笨”或者“懶”，還有歸因于“智商”的（并且有些人將智商說當作是先天身分）。另一方面，經常也總有幾個學生學得很好，這也使一些人認為他們“伶俐”“勤懇”或“智商高”，由此往往會得出一個錯誤的判定，就是在數學講授中不需要嘗試，沒有嘗試他們不是也學得很好嗎？其實否則。少數學生不需要某個嘗試，可能是因為他們以前做過有同樣結果的嘗試，但其他學生仍是需要的。

近年來數學嘗試在數學教育中日益受到正視，只是嘗試手段還有待提高。例如，

為讓學心理解全等的概念，此刻最好的中學數學教師所采用的嘗試仍是用兩張透明膠片滑移使圖形重合，還沒有比這更好的手段；

為了理解長方體，可以用疊紙盒的方式做嘗試，這嘗試用電腦應是可以虛擬化的（在電腦顯示屏上看到），但至今還沒有人做出響應的程序，而做這樣一個程序，工程不小、當作本也不低；

為了理解用平面切割圓錐獲得圓錐曲線，一個簡單而粗拙的嘗試是用手電筒照墻面，此刻還沒有比這更便利更切確的手段，等等。

此刻良多小學成立了數學嘗試室，例如懷德苑小學（見下圖）。

數學嘗試室

除了這些嘗試設備外，一個較為進步前輩的數學嘗試手段是計較機虛擬嘗試（參看參考文獻 [17]）。張景中師長教師成立的“超等畫板”可以作為一個嘗試平臺，我們與張師長教師合作成立了一些虛擬嘗試，包羅活動、角、勾股心猿意馬理（割補法）、數軸、牛頓-萊布尼茲公式等。

在更深的數學中，嘗試同樣有助于進修。例如下面的嘗試是為了理解群論的（hexa1，2，6）。

（三個視頻請查看“返樸”微信2019年9月13日推送的頭條則章。）

4 進修內容的選擇

一個中小學教員能把給心猿意馬的數學教程教好，就是優異教師了。至于數學教程中應該有哪些內容，這不是教員應該管的，并且一般是管不了的。

“教什么”的問題，在其他學科中一般不很鋒利，至少有一部門內容是近年來的新進展。例如生命科學，此刻都要講基因，而在六十年前完全沒有，因為那時基因還沒發現。

但數學卻否則，一般人學的最新也是幾百年前的數學，即使兩千多年前歐幾里德寫的《幾何原本》，此刻也仍然可用。在數千年甚至更長的汗青期間中，數學有豐碩的堆集，此中有良多是永遠不會過時的。這么多的內容，任何人都不成能讀完。那么一般人應該學哪些內容，就是一個很是不服凡的問題了。

數學的內容極為廣漠，是以進修的內容（包羅教科書）的選擇極為主要。這就是需要高程度的數學家來為中學生寫書的原因。數學巨匠傅種孫、吳文俊等都翻譯過國外的中學優異教科書。

此刻經常聽到的一個標語是“減負”，然而良多人感覺越減越重。其實看看統編教科書確實內容的量沒減小，在減失落一些內容的同時又暗暗插手了另一些內容。遺憾的是，減失落的多為精髓，增添的卻滿是垃圾。這也是統編教科書越來越令人感覺無聊的一個原因。當然，內容的選擇只是一個方面，寫作質量也很主要。此刻常見統編教科書中呈現數學錯誤，這當然要誤人后輩的。

1960 年月，在華羅庚師長教師的倡導下，良多數學家為中學生寫課外讀物，出書了一套《數學小叢書》，有十余本。華羅庚師長教師身先士卒寫了兩本：第 1 號《從楊輝三角談起》和第 3 號《從祖沖之的圓周率談起》，后來又寫了《從孫子的“神奇奧算”談起》，此外還寫了一些此外小冊子，此中《數學歸納法》和《談談與蜂房布局有關的數學問題》后來也收入《數學小叢書》中。這些書的質量都長短常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是極好的中學生讀物。遺憾的是此刻讀這些書的人很少，連中學教師都很少有讀過的。

若是一個同窗已經可以或許本身自力地進修數學，那么對于所讀的書要有所選擇，遴選本身感覺好的書。當然也可能選得不合錯誤，我本身就讀過一本看上去很有意思的書，但讀完后大掉所望。我曾經對一個同窗說：“你選讀的那本書質量很差，不值得讀。”那同窗反問道：“我不讀怎么知道它很差呢？”你們感覺這個同窗的話有事理嗎？我感覺很有事理，因為聽別人的評價不克不及取代本身的評價，本身判定錯， 吃了虧，獲得教訓，是當作長的不成貧乏的環節。

5 數學競賽

數學競賽是一種很是好的教育方式，它能激勵學生的數學樂趣，發現人才，提高學生的本質，坦蕩學生的眼界。此外，它能成立數學界與青少年溝通的橋梁，吸引數學家對青少年人才培育的投入，吸引學術界和社會對于數學成長的存眷等。

數學競賽是一種學術性很強的競賽，需要依靠數學家來組辦，尤其是命題。我加入過多種中、小學數學競賽的命題，深知這是難度很高并且很是辛勞的工作。

“華羅庚金杯”少年數學邀請賽的命題尺度尤其高。為了一個標題問題，傳授們要開會商班會商多次，并且絕大大都標題問題都不克不及經由過程。簡言之，數學競賽題的內容既要基于學生的課程內容，又不克不及落入俗套；既要有難度，又要簡單；既考驗聰明，又開導新的聰明；既不克不及超出學生常識根本的規模，又要有高的深刻的不雅點。

由此可以體味到昔時華羅庚師長教師和其他數學家做競賽命題這件事有多辛勞。越是大的數學競賽越是需要數學家。反之，若是在舉辦數學競賽時排斥數學家，就是從底子上造假。

良多人跟我談“奧數”我都拒絕回應。什么是“奧數”？其原本的意思是國際數學奧林匹克競賽（IMO），但此刻良多人所說的“奧數”與 IMO 毫無關系，只是打著“奧數”的牌子開培訓班和搞競賽。此中有些講究質量，但大大都只是將以往的數學競賽題用作培訓題或稍加改動用于競賽。我就經常看到以往的華杯賽題被頻頻利用，甚至盜版。

我國自 1950 年月華羅庚師長教師倡導數學競賽以來，數學競賽在鞭策科學手藝成長和人才培育等方面作出了不成磨滅的進獻。很多數學家介入數學競賽，存眷中學教育，這些對我國的成長長短常貴重的。

在座的同窗們有良多加入過數學競賽。你們可以回首一下，在競賽中做過的一個標題問題對你是不是新穎的？是不是天然的？是不是有趣的？做了是不是有長進？做了今后是不是又曾用到？

6 用進修科學的方式

數學告訴我們科學的真理，它們深刻地揭露天然界的奧秘，在這方面它與物理、化學、生命科學等是一樣的。我們來看幾個例子。

例 1.勾股心猿意馬理。直角三角形的兩直角邊長 a，b 與斜邊長 c知足a^2+b^2=c^2。

例 2.圓的面積。直徑為 r 的圓的面積為 πr^2。

例 3.加法心猿意馬理。

例 4.代數根基心猿意馬理。任何很是數復系數多項式必有一個復零點。

例 5.“費爾馬大心猿意馬理”。設 n 為大于 2 的整數，則方程 x^n+y^n=z^n沒有非普通的整數解。

這些真理的表述都很是簡單，使得人們很輕易理解和應用。可是它們都不是簡單的常識或直不雅上可以看到的事實。

經常良多人利用一個數學心猿意馬理但不知道或不懂得它的證實，這沒有危險，因為數學家包管了心猿意馬理的靠得住性。但能利用并不等于把握。這可能有潛在的問題。

數學中的深刻心猿意馬理都是顛末良多人的持久艱辛摸索才發現和證實的，而根本數學研究與理論物理近似，都屬于理論研究的規模。

由此可見，數學是科學，所以進修數學應該用進修科學的方式，就是說要理解科學道理，直至完全懂得；而不是用例如進修手藝或律例的方式。

數學的教育，毫不僅僅是一種常識的傳布，而更是包含能力的培育和理念的成立。

就以識數而言，豈是熟悉 1, 2, 3, 4, 5, ... 那樣簡單。起首，需要經由過程上面所說的“擁抱天然”，物理地輿解數字符號的意義，這種理解還要經由過程今后所做的應用題進一步深化。進而要領會數的簡單性質，從而對于天然數數有更深切的理解，而且從中培育計較和應用等方面的能力。直到完當作“我什么數城市數了”這一飛躍的時辰，才算完當作了識數的過程。

到這時辰，一小我已經深刻地輿解“數”是天然紀律，對此已有果斷的信念，宇宙不雅已有悄然的改變，對于所碰到的問題會自發地從“數”的角度考慮，并且較著地比不識數時更“伶俐”了，這種“伶俐”完滿是后天的。

熟悉天然數的過程歸根結底是孩子本身完當作的。若是孩子沒有樂趣，即沒有熟悉天然數的欲望，無論若何灌注貫注也不克不及使他識數。

是以，“理解+記憶”的模式，對于數學教育是不合用的。

遺憾的是，良多數學教育幾乎就是用手藝教育或律例教育的方式，甚至將數學看成教條。這樣的教育盡管可以使一個孩子學完所有的教程，如記數劃定、運算法例、多種應用題型等等，并且經由過程達標測驗，卻仍然沒有使他“學懂”數學。

不時地會碰到一個家長興奮地講本身的孩子的數學才能：很小就能熟悉數字，4 歲就會做 1 萬以內的加減法，背九九表，加入什么速算角逐獲獎，等等。然而，這很可能危險了甚至毀失落了孩子學好數學的前途。

不免有人會反問：為什么必然要“學懂”數學呢？只要“會做”就可以經由過程測驗了，達標了，未來也就可以工作了。然而，此刻人工智能成長得很快，不管多伶俐的人，與人工智能比速算，做選擇題，甚至做套路題，都將完全不是敵手。有良多人由此斷言人將被電腦裁減。然而，懂得數學的人不會被裁減，因為人工智能無論做得多快多好，仍是只會“做”而不“懂”數學。

如何才叫“懂”數學呢？這里舉一個例子。

我在中科院和首都師大經常本家兒持研究生面試，加入面試的都是筆試達標的。我們從不問難題，一般是問你有什么學得好的（有自傲的），我們就從此中問個簡單問題看看考生是否學懂了。例如考生說群論學得好，就讓他舉個群的例子。這樣的“送分”題卻經常有人答不上來。

哪怕只是初步學懂，也不至于連一個簡單的例子都舉不出來呀。

同窗們可以經由過程問本身這類簡單的問題，來反思本身是否真的學懂了。

7 數學本質

在現代社會中，一小我平生中接管數學教育的時候是半斤八兩長的。

現實上，幼兒一般在很小的時辰就起頭接管數學教育。按我國現行的義務教育法，每個少年至少要上完初中，而接管數學教育也就要直到上完初中；良多地域已起頭普及高中教育；而對于良多方面工作的需要，即使高中數學達標都還不敷，至少需要用到微積分。可以預料，我國公平易近平生中接管數學教育的平均時候，還會進一步增添。沒有任何一個其他學科的教育時候稀有學這樣長。

固然一小我需要學的數學這么多并且越來越難，但即使是一個小學生也可能有很好是數學本質，而中學生中有良多可以達到半斤八兩高的數學本質。一小我的數學本質的標記不是數學常識的幾多，而是數學理念的高度。

小學階段培育數學本質的一個要點是靠得住性。在做數學題的過程中，要求越來越嚴酷，這是培育科學嚴謹性的第一步。若是一個小學生在解題過程中的錯誤都可以或許本身發現和更正，就是解題很是靠得住，在這一點上數學本質完全達標了。

中學階段對于數學本質有更多的要求，包羅代數運算能力、空間想象力、邏輯性等，更高的要求是自力摸索解決問題的能力。

數學本質的晉升本家兒如果經由過程理念的晉升來實現的。理念的晉升，遠比技巧的提高主要。在理念的晉升過程中，概念越來越抽象。抽象概念經常是具體概念的推廣或晉升。在講授中一個常見的誤區是，先講抽象概念，再應用到具體環境，這樣合適邏輯次序，但對于進修可能并不合適，因為人的熟悉過程是從特別到一般，從低到高，經常是從具體到抽象，就是說抽象的概念需要經由過程大量具體的例子才能理解。

最后再指出一點：數學的教育出格需要“因材施教”，對于統一個問題，分歧的人很可能需要大不不異的進修過程。例如良多數進修題是沒有“尺度謎底”的，出格是證實題，在好的環境下甚至可能沒有兩個學生的謎底完全不異，需要教師別離讀懂和判定。就這一方面看，數學教育是很不輕易也很辛勞的。

參考文獻

[1] 姜樹生：談數學教育的特別性 —— 兼談若何處置數學與教育學的關系. 數學傳遞 2008 年第 4 期

[2] 姜樹生：恐怖的幼兒數學教育（2011）

[3] 姜樹生：李克強總理關于數學的講話與社會反應（2015.4.）

[4] 姜樹生：現行統編中學數學教科書有多爛（2016.11.）

[5] 李克正：懷想和發揚華羅庚師長教師對中國青少年數學人才培育的進獻（2010.9.）

[6] 李克正：《數學的哲學意義》（首都師范大學課本 2011-2013）

[7] 李克正：關于初等幾何習題（2018.5.）

[8] 蓮溪：是誰奪走了美國人的數學能力？——美國百年數學戰爭演義

[9] 彭志祥等：《玩數學：小學數學課程整體轉型的研究》

[10] 其故：得數學者得全國（返樸公家號 2019）

[11] 單墫：《數學競賽史話》. 廣西教育出書社（1990）

[12] 《數學小叢書》 1-18. 科學出書社（2002）

1 華羅庚：從楊輝三角談起

2 段學復：對稱

3 華羅庚：從祖沖之的圓周率談起

4 吳文俊：力學在調集中的一些應用

5 史濟懷：平均

6 閔嗣鶴：格點和面積

7 姜伯駒：一筆畫和郵遞路線問題

8 龔昇：從劉徽割圓談起

9 范會國：幾種類型的極值問題

10 華羅庚：從孫子的“神奇奧算”談起

11 蔡宗熹：等周問題

12 江澤涵：多面形的歐拉心猿意馬理和閉曲面的拓撲分類

13 常庚哲、伍潤生：復數與幾何

14 柯召、孫琦：單元分數

15 華羅庚：數學歸納法

16 華羅庚：談談與蜂房布局有關的數學問題

17 虞言林、虞琪：祖沖之算π之謎

18 馮克勤：費馬猜想

[13] 咸道：致家長

[14] 嚴士健本家兒編：《面標的目的 21 宿世紀的中國數學教育》. 江蘇教育出書社（1994）

[15] 尹裕：尋回夸姣的中學時代. 數學傳遞 2006 年第 1 期

[16] 尹裕：數學發蒙教育之我見（2013）

[17] 張景中、王鵬遠：《小學數學嘗試》

[18] 中國少年報社編：《華羅庚金杯少年數學邀請賽專輯》. 海燕出書社（1991）

作者簡介

李克正

代數幾何學家，首都師范大學特聘傳授。中科院研究生院數學系本家兒任，中科院數學委員會委員，中科院主要偏向項目首席科學家。《 中學生數學》雜志本家兒編，《 小學生數學報》等報刊編委。海說神聊京市高考命題委員。

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