世界級千禧難題“納維-斯托克斯方程”：數學史上最復雜的公式

比擬起黎曼猜想、費馬大心猿意馬理、哥德巴赫猜想等全球知名的難題，納維-斯托克斯方程的存在感很低，即使活著界千禧年七浩劫題里，也很少會有人說起，最主要的原因就是，這個難題其實是不太好理解，尤其對于通俗人而言，甚至名列榜首的P/NP問題通俗人都可以揣摩到一些，但就是很難理解納維—斯托克斯方程，這也是為什么平易近科很少觸及這個問題的原因。

大師可以看看百度百科上對這個難題的描述：

升沉的海浪跟從著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的劃子，湍急的氣流跟從著我們的現代噴氣式飛機的飛翔。數學家和物理學家深信，無論是輕風仍是湍流，都可以經由過程理解納維-斯托克斯方程的解，來對它們進行詮釋和預言。固然這些方程是19宿世紀寫下的，我們對它們的理解仍然少少。挑戰在于對數學理論作出本色性的進展，使我們能解開埋沒在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

沒頭沒從頭至尾，你甚至在這段話里都很難測度出這個難題事實描述的是什么問題，吐露出一股形而上學的問題，今天我們就來聊聊納維-斯托克斯方程。

這個方程并不是一小我提出來的，1775年，聞名數學家歐拉，對，沒有錯就是數學界四大天王歐拉，他現在又來摻和流體力學了，他在《流體活動的一般道理》一書中按照無粘性流體活動時流體所受的力和動量轉變從而推導出了一組方程。

方程如下：(ax?D?+bxD+c）y=f(x）（只是此中一種形式，還有泛函極值前提的微分表達式等），這是屬于無粘性流體動力學（抱負流體力學）中最主要的根基方程，是指對無粘性流體微團應用牛頓第二心猿意馬律獲得的活動微分方程，它描述抱負流體的活動紀律。奠基了抱負流體力學根本。

粘性流體是指粘性效應不成忽略的流體。天然界中的現實流體都是具有粘性，所以現實流體又稱粘性流體，是指流體質點間可流層間因相對活動而發生摩擦力而抵擋相對活動的性質。

1821年，聞名工程師納維推廣了歐拉的流體活動方程，考慮了分子間的感化力，從而成立了流體均衡和活動的根基方程。方程中只含有一個粘性常數。

1845年斯托克斯從持續統的模子出發，改良了他的流體力學活動方程，獲得有兩個粘性常數的粘性流體活動方程的直角坐標分量形式，這就是后宿世所說的納維-斯托克斯方程。

納維-斯托克斯方程有良多種表達形式

詮釋納維-斯托克斯方程的細節之前，起首，必需對流體作幾個假設。第一個是流體是持續的。這強調它不包含形當作內部的空地，例如，消融的氣體氣泡，并且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個需要的假設是所有涉及到的場，全數是可微的，例如壓強P，速度v，密度ρ，溫度Q等等。該方程從質量，動量守恒，和能量守恒的根基道理導出。

對此，有時必需考慮一個有限的肆意體積，稱為節制體積，在其上這些道理很輕易應用。該有限體積記為ω，而其概況記為?ω。該節制體積可以在空間中固心猿意馬，也可能跟著流體活動。

可以說納維-斯托克斯方程是浩繁科學家和工程師的鞭策下發生的，是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質的方程。這些方程成立了流體的粒子動量的改變率（力）和感化在液體內部的壓力的轉變和耗散粘滯力（近似于摩擦力）以及引力之間的關系。這些粘滯力發生于分子的彼此感化，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維-斯托克斯方程描述感化于液體肆意給心猿意馬區域的力的動態均衡。

在流體力學中，有良多方程，但良多方程都和納維爾-斯托克斯方程有著聯系，納維-斯托克斯方程可以說描述了流體范疇的大部門前提，當然了，該方程也有其合用規模，該方程只合用于牛頓流體。

什么是牛頓流體呢？簡單說就是：任一點上的剪應力都同剪切變形速度呈線性函數關系的流體。一般高黏度的流體是不知足這種關系的，申明牛頓流體和非牛頓流體有個簡單的例子就是大師熟知的虹吸現象。在低黏度下，虹吸要進行下去，吸收口必需在頁面以下，但非牛頓流體的高黏度流體下，吸收口哪怕高于液面，其虹吸依然可以或許進行，因為黏度太大了。

而對于工程應用來說，大部門環境仍是處置牛頓流體，或者可以近似為牛頓流體。可以說，該方程在流體力學中起著根本性的感化，但也起著決議性的感化。

關于這組方程所涉及的難題就是，若何用數學理論說明這組方程。對，甚至用數學理論說明用于描述獨特黑洞的愛因斯坦場方程城市比闡述納維-斯托克斯方程更簡單一些。

所以有關納維-斯托克斯方程其解的數學性質有關的數學問題被稱為納維-斯托克斯方程解的存在性與滑膩性。

盡管納維-斯托克斯方程可以描述空間中流體（液體或氣體）的活動。納維-斯托克斯方程式的解可以用到很多現實應用的范疇中。好比可以運用到模擬氣候，洋流，管道中的水流，星系中恒星的活動，翼型四周的氣流。它們也可以用于飛翔器和車輛的設計，血液輪回的研究，電站的設計，污染效應的闡發等等。

不外今朝對于納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍是不足，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會包羅紊流。

紊流又稱湍流，是流體的一種流動狀況。當流速很小時，流體分層流動，互不夾雜，稱為層流，或稱為片糖；逐漸增添流速，流體的流線起頭呈現波狀的擺動，擺動的頻率及振幅隨流速的增添而增添，此種流況稱為過渡流；當流速增添到很大時，流線不再清晰可辨，流場中有很多小漩渦，稱為湍流，又稱為亂流、擾流或紊流。（飛機最怕碰見湍流）

固然紊流在科學及工程中很是的主要，可是紊流無序性、耗能性、擴散性。至今仍是未解決的物理學問題之一。

別的，很多納維－斯托克斯方程式解的根基性質也都尚未被證實。因為納維-斯托克斯方程依靠微分方程來描述流體的活動。分歧于代數方程，這些方程不追求成立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關系，而追求成立這些量的轉變率或通量之間的關系。用數學術語來講，這些轉變率對應于變量的導數。此中，最簡單環境的0粘滯度的抱負流體的納維-斯托克斯方程表白，加快度（速度的導數，或者說轉變率）是和內部壓力的導數當作正比的。

這暗示對于給心猿意馬的物理問題，至少要用微積分才可以求得其納維-斯托克斯方程的解。適用上，也只有最簡單的環境才能用這種方式獲得已知解。這些環境凡是涉及不變態（流場不隨時候轉變）的非紊流，此中流體的粘滯系數很大或者其速度很小（低雷諾數）。

對于更復雜的景象，例如厄爾尼諾這樣的全球性景象形象系統或機翼的升力，納維-斯托克斯方程的解必需借助計較機才能求得。這個科學范疇稱為計較流體力學。

例如數學家就尚未證實在三維座標，特心猿意馬的初始前提下，納維－斯托克斯方程式是否有合適滑膩性的解。也尚未證實若這樣的解存在時，其動能有其上下界。

而千禧年關于納維－斯托克斯方程的問題則更為堅苦，它給出的問題是：在三維的空間實時間下，給心猿意馬一路始的速度場，存在一貫量的速度場及純量的壓強場，為納維－斯托克斯方程式的解，此中速度場及壓強場需知足滑膩及全局界說的特征。

注重，宿世界千禧年七大數學問題中每個數學問題的官方陳述除了P/NP問題之外，都是由此范疇或者在此問題上做出過當作果的菲爾茲獎得本家兒進行撰寫，確保可以或許精辟歸納綜合出問題，從而包管問題的嚴謹性，而P/NP問題因為涉及到計較機方面，所以官方陳述是由圖靈獎得本家兒斯蒂芬·庫克撰寫，納維-斯托克斯方程存在性與滑膩性。查爾斯·費夫曼撰寫的官方陳述

若是你沒有法子理解，你可以簡單理解當作，科學家但愿可以找出納維－斯托克斯方程的通解，也就是說證實方程的解老是存在。換句話說，這組方程可否描述任何流體，在任何肇端前提下，將來任一時候點的環境。

一組用數學理論說明都堅苦的方程組，你還需要去證實這個方程的解老是存在。這讓很多科學家為之解體。

今朝來說，今朝只有大約一百多個特解被解出來。而數學家讓·勒雷在1934年時證實了所謂納維-斯托克斯問題弱解的存在，此解在平均值上知足納維-斯托克斯問題，但無法在每一點上知足。

而自此之后，關于納維-斯托克斯問題的研究就裹足不前，所以它也被稱為最難的數學或物理公式，直到 80 年今后，陶哲軒在納維-斯托克斯問題上頒發了文章《Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation》，他的本家兒要目標是將納維－斯托克斯方程全局正則性問題的超臨界狀況樊籬形式化。粗略地說，就是抽像地成立納維－斯托克斯方程的全局正則性是不成能的。陶哲軒認為，相信抽象方式（基於能量等式的泛函闡發方式好比半群等）和純粹的和諧闡發應該是不敷用的，可能必需要用到NS方程的特別幾何好比vorticity，這篇文章就是機關了一個近似于NS方程、但不是原先的NS方程的一個反例。

他說，想象一下假若有人異常伶俐，純粹用水締造了一臺機械，它并不由桿和齒輪而是由彼此感化的水流組成。陶邊說著邊像魔術師般用手在空中比劃出一個外形。想象一下這臺機械可以copy出另一個更小速度更快的本身，接著這個更小速度更快的又copy出另一個，不竭繼續下去，直到在一個細小的空間達到了無限的速度，從而激發了爆炸。陶笑著說到他并不是提議真的建立這樣一臺機械，這只是一個思惟嘗試，就像愛因斯坦導出狹義相對論。可是，陶詮釋到，若是可以從數學上證實在原則上沒有什么可以阻止這個奇奧裝配運轉，那么這便意味著水現實上會爆炸。并且在這個過程中，他也會解決納維－斯托克斯方程的存在性與滑膩性的問題。