投影后面的數學，你了解多少？

金庸小說《天龍八部》里有這樣一段情節：逍遙派的李秋水夜晚舞劍。月光經由過程湖面反射，將她的劍影投射到無量山石壁上。無量派掌門看到后，誤覺得是仙女舞劍，試圖從中貫通信息不全的劍法。這個有趣的情節涉及到一個幾何概念：投影。本文的本家兒要目標就是以盡可能直不雅的體例標的目的讀者介紹有關投影的數學。

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攝影與手電影：三維到二維的投影例子

良多人小時辰都玩過手電影，就是把手放在燈膽前，投射到墻上的影子會跟著你的手勢轉變發生各類有趣的圖案。

你的手是三維空間中的物體，影子是二維空間（即墻面）上的幾何物體。是以手電影的素質，從幾何角度說，半斤八兩于是將三維空間中的幾何物體投影到二維平面中的幾何物體。與此近似的，還有拍攝照片。現實上，照片也無非是將三維空間中的物體投射到平面（即相片）上。

將三維空間中的物體投影到平面上，往往會損掉失落良多信息。好比在上述的手電影中，若是你僅僅看墻上的影子，現實上是很難切當地判定出那是由一只手仍是兩只手投影出來的，或者是否真的由人的手投影出來（也可能是其他物件投影獲得）。這就申明投影會損掉失落原始物體的良多幾何信息。我們前面提到的《天龍八部》情節也是如斯，逍遙派的一流劍法投影到石壁上損掉了良多信息，所以無量派掌門只能貫通到信息不全的劍法。

近似地，有一些操縱視覺技巧拍攝的照片，讓你無法準確判定相片中兩個物體的巨細關系或前后關系等等。其實背后的事理是不異的。

盡管投影會損掉失落部門信息，但另一方面，它也可能保留下良多主要的信息。何況研究二維圖像顯然要比研究三維圖像簡單良多。是以良多時辰，為了降低研究的難度或復雜度，我們經常采納投影的方式來降低布景空間的維度，把幾何物體壓縮到更低維度的空間里來加以闡發。這也是為什么我們需要研究投影的一個原因。

空間曲線的投影

想象一下：你有一根滑膩的繩索，你要經由過程一個電燈膽將它投影到地面上，那么地面上的影子會是滑膩的嗎？謎底凡是是否認的。不單如斯，繩索的影子有時甚至會呈現良多復雜的“結”（幾何上叫做“奇點”）。好比下面兩張圖所顯示的例子( o是電燈膽地點的位置，虛線暗示投影的光線):

上面左圖中,R的投影點R’是一個奇點–凡是稱之為“尖點”。最簡單的尖點可以用方程x2+ y3= 0 來局部地描畫，凡是叫做“通俗尖點”。右圖中P1,P2 的投影點P’也是奇點，它局部看有點像十字架，我們凡是把它稱作“結點”，可以用方程x2– y2= 0 來局部地描畫。當然，我們還可以舉出更復雜的投影圖像的例子。限于篇幅，這里就不再具體介紹了。

在對一條曲線進行投影時，我們老是但愿影像曲線盡可能地接近原始曲線,這樣做可以或許盡量保留住原始曲線的幾何信息。最抱負的環境當然是：影子也是滑膩的。但正如前面所說，這一般是做不到的。三維空間到二維空間的壓縮凡是會將曲線擠壓出奇點。是以我們退而求其次，許可影像曲線上呈現一些奇點，但這些奇點要盡可能簡單。別的我們還但愿這個投影幾乎是1:1的，也就是說，繩索和影像上除去若干點外，兩者之間的點要一一對應。

事實上，我們知道下面的經典結論：

任何空間曲線都可以經由過程合適的投影映當作平面上僅帶有有限多個結點的曲線，并且這個投影在結點之外是1:1的。

經由過程上述投影，我們就能將三維空間中的曲線的大部門幾何信息都保留下來。研究二維平面上的結點曲線顯然要比研究空間曲線輕易得多，因為平面曲線可以用一個方程描述出來（作者注：嚴酷地講，這里的曲線要求是代數曲線——就是可以經由過程多項式方程組界說出來的曲線），是以可以用我們熟知的平面解析幾何的方式去研究它。好比說，任何一條曲線都帶有一個決議其幾何性狀的數值量，叫做“虧格”——就比如某種基因。你要直接計較空間曲線的虧格一般比力麻煩。可是經由過程投影之后，空間曲線的虧格計較可以被歸結到平面結點曲線的虧格計較，后者是很輕易的。

進一步想象一下，假如一條曲線落在更高維度的空間中，我們是否也可以將它投影到平面中呢？謎底是必定的。我們可以用數學上的手段，先將曲線經由過程投影壓縮到三維空間中，并且我們還能包管在這種投影下，曲線的全數信息都被忠厚地保留下來（改變的僅僅是布景空間的維度）。這樣，我們的問題又再一次歸結到三維空間曲線的投影上。無論若何，正如上面所指出的，在把三維空間壓縮到二維空間的過程中，我們凡是無法確保曲線不被擠壓出結點。

觸類旁通：高維幾何物體的投影

我們此刻要把上一節的會商推廣到更高維度的空間中去。這當然需要一些想象力。因為高維空間自己是很難像三維空間那樣被直不雅、清楚地輿解的。你甚至可能會有疑問：是否真的有高維空間存在？這一點倒不必有疑問，其實有良多主要的幾何對象都存在于高維空間中。我們先舉幾個經典的直不雅例子來申明一下。

例一、最聞名的例子是克萊因瓶。它是一個沒有鴻溝、且只有一個面的曲面。

這個瓶子的瓶頸直接插入到瓶膽內，而且與瓶底的啟齒毗連起來。上面的照片顯示的是克萊因瓶的三維模子，并不是真正的克萊因瓶。因為真正的克萊因瓶的瓶頸并不會插破瓶壁進入瓶膽內，而是直接穿越進去。這一點顯然無法在三維空間中實現出來—你必需在瓶壁上鑿出一個洞才能把瓶頸塞進去。現實上，克萊因瓶必需放在四維空間中才能被準確地機關出來。

例二、下面三張圖顯示的曲面看似是兩個圓盤，但它們卻彼此穿越對方完美毗連起來。

在三維空間中，讓兩個圓盤互相穿越對方必然會導致曲面分裂，所以這個曲面現實上也不成能在三維空間中存在，上面的圖像僅僅是它在三維空間中的模擬圖像。可以用數學方式證實，這種曲面存在于四維空間中，它的完整圖形和球面在拓撲意義上是一樣的（粗拙地說，就是你對這個曲面充氣，它可以鼓當作一個“氣球”）。

近似的曲面還有良多，好比下圖的曲面是三個圓盤彼此毗連起來。

這些曲面在三維空間中的模子現實上是它們從四維空間投影到三維空間獲得的。這需要一些想象力。你得想象在四維空間中放一個電燈膽，然后光線把四維空間中的曲面投影到一面三維的“墻”上，那么它的影像就是我們看到的三維模子。這些模子老是會呈現一部門很奇異的“穿越裂縫”。好比克萊因瓶在三維模子中有一個被鑿破的“洞”供瓶頸“穿越”進內膽—這個洞在四維空間中并不存在；其實例二中的兩個圓盤彼此穿越的那條交壤線在四維空間中也不存在。為什么會呈現這種現象呢？直不雅上說，這是因為投影將四維空間壓縮到三維空間后，會把曲面壓壞失落。這就有點像是你把大房子釀成了斗室子，那么房子里的家具等等可能就容不下了，只能彼此擠壓，以至于壓壞失落了一部門。

其實這種“穿越”現象在手電影里并不罕有。試想一下，你豎起左手食指，用右手食指在左手食指后方從右至左橫標的目的移動。這個時辰，在墻面上看到的影像是怎么樣的呢？你會發現右手食指的影像穿越了左手食指的影像。我們之所以對這類景象的穿越現象不感應奇異，是因為二維和三維空間可以獲得準確無誤的直不雅理解。可是前面的例子涉及四維空間，所以此中的幾何圖形就很難準確地構思清晰。

更高維度的空間中的曲面是否也能投影到三維空間中呢？這個有趣問題和曲線景象很是近似，但有所分歧。起首，這樣的曲面可以很好地被投影到五維空間中。這種投影不會擠壓壞曲面，獨一的改變僅僅是壓縮了布景空間的維度。是以當我們把曲面投影到五維空間中，曲面所有的幾何信息都能被很好地保留下來。（作者注：嚴酷地說，這里的曲面是代數曲面，就是可以用多項式方程組界說的曲面，讀者可以不去管這些細節問題。后面不再出格聲明。）

五維空間到四維空間的投影一般卻無法包管曲面不會被壓壞。可是我們可以選擇一個恰當的位置放電燈膽，使得投影到四維空間的影像曲面上被擠壓壞的部門是若干個點（我們把它們叫做“奇點”）且比力簡單，局部都形如以下的樣子。

然后我們再把這種帶奇點的曲面進一步投影到三維空間中。只要燈膽位置選的恰當，曲面在三維空間中的影像被壓壞的部門不會太糟糕，它大致有如下三種局部景象

三重點結點擰點

更一般的，一個高維空間中的維幾何物體（嚴酷地說，是指代數簇，就是用多項式方程組界說的幾何圖形）都可以經由過程投影慢慢地映入到2r+1 維空間中，該投影發生的獨一轉變僅僅是壓縮了布景空間的維度，并不損掉幾何物體的所有信息。

有限投影

前面我們考查了若何把一條曲線投影到平面里，若是進一步把平面曲線投影到直線（一維空間）上，會有什么現象呢？這里舉幾個例子來看一下。

例三、球極投影

我們在圓圈的海說神聊頂點放電燈膽，朱顏色的直線代表光線。這個投影把圓圈上每個點(除了海說神聊頂點外)獨一地投影到直線上的某個點，反之亦然。若是我們在直線外添上無限遠點∞，那么海說神聊頂點N剛好對應了∞。這樣，在上述投影上，圓圈和擴充直線間的點一一對應。

例四、二次投影

我們把電燈膽移到圓心上，此時的投影與前一例有所分歧。你會發現，過點光源O的每條光線都經由過程圓圈上的一對對徑點，并將它們投影到直線上統一點(好比P1,P2經由過程一條光線投影到P’)。是以這個投影是2:1 的，我們簡稱其為二次投影。

一般說來，曲線到直線（也就是一維空間）上的投影都是有限多個點映到統一個點。這種現象也可以推廣到曲面景象。一個曲面也能投影到平面（二維空間）上。這里也舉幾例。

例五、曲面的二次投影（紅虛線代表光線）

對平面上的一般點（好比圖中P’點）而言，它都曲直面上的兩個點（好比P1和P2）投影下來獲得的影像。是以這個投影也稱為二次投影。不外并非所有的影像點都知足這個性質。好比圖中直線R’每個Q’點，它只由曲面上獨一的點Q 投影獲得。我們凡是把這種點稱作“不合點”，而把不合點的調集 R’稱作“不合軌跡”。

近似的二次投影還有

此中的不合軌跡是兩條訂交的直線。

例六、三次投影

和二次投影近似，對平面上一般的點而言，都是由曲面上三個點投影下來獲得的影像。但有些點卻并非如斯。好比圖中Q’ 點是由兩個點Q1 和Q2 投影獲得，此中在 Q1四周，這個曲面的局部投影是1:1 的；在 Q2四周，曲面的局部投影是二次投影。T’ 點則由獨一的點 T投影獲得。這些點同樣叫做不合點，它們全體構成的調集叫做不合軌跡。這條不合軌跡是一條平面曲線，帶有尖點T’ 。

一個經典的結論告訴我們：

若是我們將電燈膽放在適合的位置上，那么曲面到平面的投影可以節制得很好。具體地講，在這樣的投影下，曲面上每個點四周的局部投影要么是到1:1 的，要么是二次投影（例五），要么是三次投影（例六）。

是以不合軌跡是一條很特別的平面曲線，它可能有一些奇點，但這些奇點要么是結點要么是尖點（見第三節會商）。這種投影凡是叫做一般投影。

曲面一般投影的性質

我們繼續上面的話題。考慮曲面到平面的一般投影。此時不合軌跡的奇點只有尖點（cusp）和結點（node），其他部門當然都是滑膩的—就是說摸上去很滑順，沒有鋒利的部門。

一個有趣的問題是：

什么樣的平面曲線才能作為某個曲面的一般投影的不合軌跡？

這現實上是一個很堅苦的數學問題，它被稱作黎曼的存在性問題。有許很多大都學家曾經考慮過這個問題，而且在一些環境下獲得了良多標致的結論。好比，假設不合軌跡有 c個尖點，n 個結點, 而且是 d次的（即由 d次方程界說），人們發現如下結論：

（1）c 必是3的倍數，n 必是4的倍數；

（2）d2-6c ≤ 2n＜d2-5d+8

黎曼存在性問題在曲線景象也有描述，而且已經有了比力完美的解答。

另一個有趣的問題是：

是否可能存在兩個分歧的曲面到平面的一般投影，它們具有不異的不合軌跡？

這個問題叫做Chisini猜想，由Kulikov于2008年徹底解決了。他的結論是：除了幾個特別的例子之外，一般投影由不合軌跡獨一確定；換言之，除了那幾個特破例，不成能存在兩個分歧的一般投影，它們具有不異不合軌跡。

這是一個很有價值的結論。因為這意味著，曲面投影的幾何信息可以或許由平面上的一條曲線的幾何信息完全確定下來（作者注：平面中挖失落這條曲線后所剩下的部門，包含了良多主要的幾何信息）。一般說來，研究曲線要比直接研究曲面便利得多。由此也可見投影的用處是很大的。

竣事語

這篇文章的素材改編自筆者的數學系青年教師論壇演講稿。當初寫這一講稿的目標是為了讓其他專業的教員也可以或許輕松領會代數幾何的部門課題，為此特意插手了良多圖片來幫忙他們理解。可是要以通俗的體例介紹代數幾何始終是很堅苦的。為了追求某種通俗性，我們不得不拋卻某些嚴酷性以及若干手藝性的細節。好比我們會商的對象是復數域上的代數簇，可是這些名詞術語會讓大大都人望而卻步，所以我們在文章中盡可能避免這類術語，而把它們籠統地稱為“曲線”、“曲面”或“高維的幾何物體”等等。最后筆者要申明一下，文中的一些圖片直接取自于百度圖片庫，另一些則是筆者本身畫的。

作者：華山派小6

發表于 2019-11-13 02:00
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