等周定理：一個愛情悲劇里的數學問題

平面上的等周問題長短常古老的問題，在維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》中就呈現了等周問題的影子。等周心猿意馬理簡單歸納綜合就是，在平面上給心猿意馬長度的簡單閉曲線中，圓周所圍的面積最大。圓這一謎底看似天然而合理，但要嚴酷地證實卻并不輕易，汗青上研究該問題的數學家層出不窮，今天我們就開啟一趟數學摸索之旅，體味這些分歧氣概的證實方式。

撰文 | 楊帆（重慶大學數學與統計學院）

一、聞名歌劇里的數學問題

平面上的等周問題是微分幾何的根基問題之一，研究汗青悠長，若要完整的講述此中的故事，我們不妨從亨利·普賽爾（Henry Purcell, 1659-1695）最聞名的歌劇《狄朵與埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。這部歌劇取材于維吉爾（Virgil）的史詩《埃涅阿斯紀》（Aeneid），演繹了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的戀愛悲劇，歌劇中女巫姐妹為了粉碎他們的戀愛，棍騙埃涅阿斯分開迦太基去完當作一項任務，狄朵誤覺得他變節了本身，于是自焚身故。

最終，他們呈現在你面前，

可以看到新迦太基建起的塔樓；

在那邊買下一塊地盤，名叫比爾薩。

——《埃涅阿斯紀》

歌劇《狄朵與埃涅阿斯》宣傳圖

狄朵與埃涅阿斯的相遇其實并不浪漫，她平生偃蹇困窮，在此之前因丈夫被暗算而被迫逃離故土，她一路逃亡來到海說神聊非海岸，并設法在此假寓，為采辦地盤與本地人履歷了一番討價還價，最終獲得的承諾是她只能據有一塊牛皮包住的地盤，于是聰慧的狄朵將牛皮切當作盡可能多的細條，將細條相連當作線從而圍住了大片地盤。在這里我們看到了等周問題的影子——在給心猿意馬的周長內圍住盡可能多的地盤面積，遺憾的是這位潛在的女數學家選擇將生命獻給戀愛，最終這個數學問題仍是由古希臘數學家給大致解決了。

何為等周心猿意馬理？即平面上心猿意馬長的簡單閉曲線中圓周所圍的面積最大，其對偶心猿意馬理與之等價，即平面上面積相等的幾何圖形中圓的周長最小。設D是長度為L的平面簡單閉曲線，由若爾當曲線心猿意馬理（即在歐式平面上，肆意一條簡單閉曲線D可把平面分當作兩個部門，使得統一部門的肆意兩點可用不與D訂交的弧相連），曲線D可圍當作面積為A的有限區域，用不等式暗示為

，當且僅當D為圓周時等號當作立。戳https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUxNzQyMjU5NQ==&mid=2247487348&idx=2&sn=8fb5653af38e4a7d29501773ce508292&chksm=f9992418ceeead0e7209d3f8921d8d1cd65b98a6540520fdc7be41e8dffcf620fd027e0fc17d&token=1854233942&lang=zh_CN#rd可不雅看等周問題的番筧泡嘗試的視頻

謎底看似有理，究竟結果圓是一個如斯神奇的外形，但嚴酷地證實并不輕易，汗青上先后有很多數學家都研究過該問題，但直到19宿世紀，才由德國數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）初次給出了一個嚴謹的數學證實（拜見參考文獻4）。接下來，我們就來領會幾個分歧期間有代表性的證實方式。

二、斯坦納的證實

在正式證實之前，我們要明白等周心猿意馬理的解必然是凸幾何。所謂凸幾何，即在某一圖形內取肆意兩點連當作線段，若線段上所有的點都在圖形內，則該圖形為凸幾何，反之為非凸幾何。

17宿世紀以來，一批數學家們致力于在解決幾何問題時盡量少的運用代數運算，而追求更具普適性的方式，雅各布·斯坦納（Jakob Steiner，1769-1863）就是此中一位代表性人物。他在合當作幾何方面的研究較為權勢巨子，他認為計較故障了思慮，而純粹的幾何學則刺激了締造性思維，在他所給出的五種對等周心猿意馬理的證實中，這一立場也有所表現，我們先來領略此中兩種方式的出色之處。

Jakob Steiner，1769-1863

01四搭鈕證實法（Four-hinge Proof）

與之前的做法近似，起首用一條直線將心猿意馬長前提下面積最大的圖形分為周長相等的兩部門，此時面積也被等分，要證實等周心猿意馬理，只要證實圖形等分后的兩部門為半圓。

考慮上半部門曲線 D1 圍當作的圖形A1，運用反證法，假設A1不是半圓。將D1與朋分線的交點記為B與C，由直角三角形的斜邊中線心猿意馬理可知，半圓的內接三角形為直角三角形，而A1不是半圓，則D1上存在一點A，與點B、C相連使得∠A不是直角。接著，移動三角形底邊的端點 B、C，并連結BA、CA的長度不變，使∠A變為直角，這時，連結暗影部門面積不變，而三角形△ABC面積增添，從而A1的面積也增添，而曲線 D1 的長度未變，是以在周長不變的環境下獲得了面積更大的圖形，與假設矛盾，是以上半部門為半圓，從而圓就是面積最大的圖形。

02平均鴻溝證實法（Mean-boundray Proof）

起首來介紹一下平均鴻溝的概念，可以將它理解為兩條給心猿意馬曲線的中線，從垂直偏向看，作一向線與三條曲線別離交于A、B、C，則線段AB與線段BC等長。而且稍作計較可以發現，平均鴻溝的長度不大于兩條給心猿意馬曲線長度的平均值，只有當兩條曲線一樣時才能取等號。

平均鴻溝

斯坦納等一眾數學家的盡力讓公共相信，離開了代數與闡發的數學仿照照舊是壯大的兵器，但我們同時又會如斯真切地感觸感染到幾何與方程碰撞發生的奇奧成果。因為下文會用到面積公式，不妨先用幾何的方式來推導一下。

三、后斯坦納時代

此后，存在性的問題一向無人能解，直到1879年魏爾斯特拉斯在一次講座中證實領會的存在性，從而使等周問題擁有了第一個嚴謹的證實。完整地證實解的存在性長短常堅苦的，連魏爾斯特拉斯本身都感傷：“這個問題其實是太難了，以至于它被認為幾乎不克不及被完當作。”是以本文對此就不進行深切的介紹了。

在證實領會的存在性的后斯坦納時代，數學家們對等周問題的研究似乎多了些底氣，下面介紹了兩種分歧的證實方式，我們不妨體味一下分歧氣概的證實之美。

01變分法證實

Jakob Bernoulli (1654-1705) 和 Johann Bernoulli (1667-1748)

變分法最先由約翰·伯努利（Johann Bernoulli）于1696年提出，開初是為領會決物理中的最速降線問題，雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）知道后也起頭潛心研究，這個問題同時也吸引了歐拉、牛頓等數學家的注重，在一眾數學家的配合盡力下，變分法的研究不竭取得沖破。值得一提的是這伯努利兩兄弟的關系，哥哥雅各布平生倉促五十載，而此中的三十年都用在了和弟弟進行學術爭論上，在我們后人看來，恰是他們對科學不竭的切磋爭執，才促進了科學的成長與前進。

等周問題很是簡練，所給的前提只有心猿意馬長這一個，若把面積最大理解為求極值，那么用變分法處置就顯得很是天然。變分法的焦點思惟是找到一個函數y(t)，求得與之相關的泛函

的極值。

在解決等周問題時，我們就需要找到曲線t→(x(t), y(t))，在給心猿意馬周長

的前提下，使面積

最大化，運用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）機關函數：

并求出

的極值。

變分法的關頭是歐拉方程（Euler Equation），即經由過程使一階導為零求得極值點，別離化簡 x 與 x’ 的歐拉方程求得最終解，這顯然是圓參數方程的一種形式。

02投影法證實

施密特（ Erhard Schmidt）的投影法證實方式的怪異之處在于，運用投影的方式將不法則圖形與圓周相聯系，具體做法是將簡單閉曲線α所圍當作的區域夾在兩平行直線之間，在兩直線間作一半徑為r的圓周β，以圓心為原點，y軸與直線平行成立平面直角坐標系，令

，

，這樣就可以計較它們各自的面積。此中，s為曲線α的弧長參數，A為曲線α圍當作的面積。

將原曲線投影到圓周上

將兩者面積相加，運用柯西不等式進行放縮，在計較過程中需要注重一個隱含前提，因為對原曲線作了弧長參數化處置，則有弧長參數x'2+y'2=1，計較時可進行化簡，最終求得等周不等式，當等號當作立時 A= πr2，L=2πr，是以原曲線圍當作的就是一個圓。

說了這么多，等周心猿意馬理到底有什么用呢？操縱最短的線圍出最大的面積是其在日常糊口中最為常見的應用。等周心猿意馬理不像莫比烏斯環、哥尼斯堡七橋問題、四色問題等這么為人熟知，但它在鞭策學術研究上具有主要價值，例如該心猿意馬理可用來進行特征值估量，解決流體機械中的流化感化相關的問題等。感樂趣的小伙伴可以進行更深切的研究。

回首等周心猿意馬理的各類證實，數學家和文學家的思維一樣靈敏而自由，同樣的事物在他們眼中會釀成分歧的風光，分歧的方式讓我們可以從分歧的角度去理解統一個事實，這往往指導出數學上分歧的成長。

王國維在《人世詞話》中將詞分為有我之境與無我之境，借用丘當作桐師長教師的不雅點，數學研究當然也有境界的概念，在某種水平上也可談有我之境、無我之境。等周問題生發于實際中的買地問題，由糊口指導，可謂無我之境；但隨后數學家們不懈的證實鞭策理論的成長，可謂有我之境矣。