三角形內角和一定是180度嗎？

三角形內角和為180°，這其實是平面幾何的必然成果，也是《幾何原本》中第五公設的推論；若是分開了平面幾何，好比在一些曲面上，三角形的內角和是可以不等于180°的。

我們有良多方式，來證實平面內三角形內角和為180°，也就是一個平角的角度，可是無論我們用到什么方式，素質上都用到了歐幾里得第五公設或者是第五公設的等價道理。

這此中隱含的道理，數學家們摸索了兩千多年，若是你不利用第五公設（或者等價道理），你是不成能證實三角形內角和為180°的。

公元前300年前后，聞名古希臘數學家歐幾里得創作了《幾何原本》，書中以23條界說、五個正義和五個公設為根本，以嚴密的數學邏輯推導出467個心猿意馬理，奠基了平面幾何的根本。

正義是指人類按照實際經驗得出，無需自證的根基事實，《幾何原本》中的五個正義包羅：

1.等于同量的量彼此相等。

2.等量加等量，和相等。

3.等量減等量，差相等。

4.彼此重合的圖形是全等的。

5.整體大于部門。

公設也是指無需自證的根基事實，可是比擬于正義來說，公設更有深度一些，近代數學中公設等價于正義，《幾何原本》中的五個公設包羅：

1.過兩點能作且只能作一條直線。

2.線段可以無限耽誤。

3.以任一點為圓心，肆意長為半徑可作一圓。

4.直角都相等。

5.平面內一條直線和兩條直線訂交，若在直線同側的兩個內角之和小于180°，則這兩條直線無限耽誤后在這一側必然訂交。

五個公設中的前四個很輕易理解，根基上也不會有爭議，可是赫赫有名的第五公設可折騰了數學家兩千多年，因為第五公設看起來怎么也不像不證自明，固然歐幾里得極盡削減第五公設的說話描述，可是第五公設比前面四個公設加起來還長。

因為第五公設素質上與“平行線不訂交”等價，所以第五公設也叫做平行公設，汗青上有良多人試圖用前面四個公設來證實第五公設，但都掉敗了。固然有一些人傳播鼓吹完當作了證實，可是在證實過程中，都不經意地引入了第五公設的等價命題，好比平行線不訂交、三角形內角和為兩個直角等等。

歐幾里得在著作《幾何原本》時，必定也注重到了這個問題，相信他也做過近似的測驗考試，以至于第五公設在《幾何原本》中直到命題29才起首被利用，并且這個命題必需得利用第五公設才能完當作證實。

命題29：一條直線與兩條平行直線訂交，則所當作的內錯角相等，同位角相等，且同旁內角之和等于180°。

在1795年，英國數學家普萊費爾提出了一條和第五公設等價的描述，既“過直線外一點，能且只能做一條平行線”，該描述比《幾何原本》中的描述簡單良多，被稱作普萊費爾正義。

直到1868年，意大利數學家貝爾特拉米，才起首證實第五公設自力于前面四條公設，并且第五公設的否認描述也是自洽的，也就是說歐氏幾何與非歐幾何是兩個分歧的幾何系統。

其實早在貝爾特拉米之前，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基就已經發現了第五公設不成證，此刻我們把非歐幾何中的雙曲幾何，也稱作羅巴切夫斯基幾何。

在統一期間，德國數學家黎曼從第五公設的別的一個背面出發，創立了橢圓幾何，也稱作黎曼幾何，于是黎曼幾何與羅巴切夫斯基幾何配合稱作非歐幾何，它們的區別在于：

1、歐氏幾何，也稱作平面幾何，第五公設當作立，平面內三角形內角和等于180°，過直線外一點可以做一條平行線。

2、黎曼幾何，也稱作橢圓幾何，第五公設不當作立，平面內三角形內角和大于180°，過直線外一點找不到任何一條與之平行的直線。

3、羅巴切夫斯基幾何，也稱作雙曲幾何，第五公設不當作立，平面內三角形內角和小于180°，過直線外一點至少可以做兩條平行線。

此刻我們知道，數學家爭論了上千年的第五公設，原本就是一個自力的正義，而這個自力正義的背面也是一個正義，從分歧的正義出發可以獲得分歧的數學系統，這也是第五公設不成證的素質原因，從第五公設背面成立起來的非歐幾何，也是廣義相對論的數學根本。

這此中隱含的數學思惟長短常深刻的，數學中還存在良多近似的道理，好比在1900年，德國數學家希爾伯特提出了23個數學問題，排第一的是持續統假設，直到幾十年后，數學家才證實持續統假設也是自力的，而持續統假設的背面，則是別的一個自洽的數學系統。

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