虛數到底有什么意義？從 i 說起

有人在Stack Exchange問了一個問題：

"我一向感覺虛數（imaginary number）很難明。

中學教員說，虛數就是-1的平方根。

可是，什么數的平方等于-1呢？計較器直接顯示犯錯！

直到今天，我也沒有搞懂。誰能詮釋，虛數到底是什么？

它有什么用？"

帖子的下面，良多人給出了本身的詮釋，還保舉了一篇很是棒的文章《虛數的圖解》。我讀后恍然大悟，醍醐灌頂，本來虛數這么簡單，一點也不奇異和難明！

下面，我就用本身的說話，講述我所理解的虛數。

一

什么是虛數？

起首，假設有一根數軸，上面有兩個反標的目的的點：+1和-1。

這根數軸的正標的目的部門，可以繞原點扭轉。顯然，逆時針扭轉180度，+1就會釀成-1。

這半斤八兩于兩次逆時針扭轉90度。

是以，我們可以獲得下面的關系式：

(+1) * (逆時針扭轉90度) * (逆時針扭轉90度) = (-1)

若是把+1消去，這個式子就變為：

(逆時針扭轉90度)^2 = (-1)

將"逆時針扭轉90度"記為 i ：

i^2 = (-1)

這個式子很眼熟，它就是虛數的界說公式。

所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針扭轉90度，i 不是一個數，而是一個扭轉量。

二

復數的界說

既然 i 暗示扭轉量，我們就可以用 i ，暗示任何實數的扭轉狀況。

將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就組成了一個二維平面。扭轉到某一個角度的任何正實數，必然獨一對應這個平面中的某個點。

只要確定橫坐標和縱坐標，好比( 1 , i )，就可以確定某個實數的扭轉量（45度）。

數學家用一種特別的暗示方式，暗示這個二維坐標：用 + 號把橫坐標和縱坐標毗連起來。好比，把 ( 1 , i ) 暗示當作 1 + i 。這種暗示方式就叫做復數（complex number），此中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。

為什么要把二維坐標暗示當作這樣呢，下一節告訴您原因。

三

虛數的感化：加法

虛數的引入，大風雅便了涉及到扭轉的計較。

好比，物理學需要計較"力的合當作"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合當作力是幾多？

按照"平行四邊形法例"，您頓時獲得，合當作力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數加法的物理意義。

四

虛數的感化：乘法

若是涉及到扭轉角度的改變，處置起來更便利。

好比，一條船的航標的目的是 3 + 4i 。

若是該船的航標的目的，逆時針增添45度，請問新航標的目的是幾多？

45度的航標的目的就是 1 + i 。計較新航標的目的，只要把這兩個航標的目的 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因鄙人一節詮釋）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航標的目的是 -1 + 7i 。

若是航標的目的逆時針增添90度，就更簡單了。因為90度的航標的目的就是 i ，所以新航標的目的等于：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數乘法的物理意義：改變扭轉角度。

五

虛數乘法的數學證實

為什么一個復數改變扭轉角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數學證實，現實上很簡單。

任何復數 a + bi，都可以改寫當作扭轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現有兩個復數 a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

這兩個復數相乘，( a + bi )( c + di ) 就半斤八兩于

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

睜開后面的乘式，獲得

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

按照三角函數公式，上面的式子就等于

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

這就證實了，兩個復數相乘，就等于扭轉半徑相乘、扭轉角度相加。

本文來歷于阮一峰的收集日記，戳“http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html”可查看。

撰文 | 阮一峰

《返樸》，科學家領航的好科普。國際聞名物理學家文小剛與生物學家顏寧配合出任總編纂，與數十位分歧范疇一流學者構成的編委會一路，與您配合求索。存眷《返樸》介入更多會商。二次轉載或合作請聯系返樸公家號后臺。

發表于 2020-01-20 02:00
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