科學之謎：差一點就對的數學

本不存在的多面體

下圖中這個標致的球體模子，是加拿年夜滑鐵盧年夜學的計較機科學家克雷格·卡普蘭用紙板和透明膠帶組裝而當作的。它看起來就像美國建筑師巴克敏斯特·富勒發現的網格穹頂，或者像一種新條目足球。它由4個正十二邊形和12個正十邊形組成，此外它還留有28個等邊三角形外形的缺口。

但這里卻有一個年夜問題：這種球體模子在數學上是不成能存在的。這些正多邊形本應不會在每個極點上完全對齊，所以它們無法組成這個球體模子。

那么為什么在實際中可以做當作這個模子呢？本來在組合的時辰，每個紙板城市微微地發生扭曲。卡普蘭暗示，紙板的扭曲發生了一種“蒙混過關的身分”，能使得本該不成能的工作變為了可能。

卡普蘭的模子，只是美國數學家諾曼·約翰遜在上個宿世紀60年月發現的數學現象中的一個新例子。那時的約翰遜，正盡力完當作一個由柏拉圖在2000多年前就起頭的項目：輯錄所有完美的凸多面體。例如，各面都是全等的正多邊形且每一個極點結構都是一樣的凸多面體，叫做正多面體。它總共只有5種，別離是正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。若是你用2種以上的正多邊形構成一個凸多面體，且要求所有極點結構都不異，那么你可以獲得13個阿基米德立體，以及無數種正棱柱（兩個不異的正多邊形被多個正方形毗連起來）和正反棱柱（兩個不異的正多邊形被多個等邊三角形毗連起來）。阿基米德立體、正棱柱和正反棱柱統稱為半正多面體。

若是用2種以上的正多邊形構成一個凸多面體，但不要求所有極點結構都不異，那么除了半正多面體，還會有幾多種多面體呢？1966年，約翰遜發現了92個如許的多面體，現統稱為約翰遜多面體。他猜測本身已經找全了，幾年之后，俄國數學家維克托·扎格勒爾證實了這一點。

然而在尋找這些多面體的時辰，約翰遜發現了一些奇異的現象。他用紙板來搭建想要尋找的外形，因為知足要求的多面體不會良多，他認為任何不成能的環境都能很快閃現出來。但事實上，他用紙板搭建出了良多個如許的多面體，但顛末數學闡發后，發現它們本應不存在。約翰遜細心一看，發現這些多面體的紙板都發生了扭曲，好比某個面扭曲得不像正方形，或者某個面變得不承平坦。約翰遜拿著鉸剪試著對某些面進行修剪，使得各個面的紙板不再扭曲，可是修剪完后，各個面就不都是正多邊形了。

這些差一點點就當作為完美的多面體，被稱為擬約翰遜多面體。那時的約翰遜并沒有太在意這種多面體。然而此刻，擬約翰遜多面體不僅吸引了卡普蘭和其他數學家的樂趣，并且被算作“差點就對的數學”的一個典型例子。

差一點就騙到你

差點就對的數學并沒有嚴酷的界說，它凡是就是指那種差一點就知足要求的，或者差一點就準確的數學現象。其判定尺度，也同時是基于人的體驗。今朝，卡普蘭在尋找新的擬約翰遜多面體的時辰，根基上是依靠于經驗。若是你當作功地搭建了一個不成能的多面體，而且與要求很接近，那么你就找到了一個擬約翰遜多面體。

很多古老的問題就屬于差點就對的數學。例如，尺規作圖三浩劫題——三等分角（三等分一個肆意角）、化圓為方（作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積）和倍立方（作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍）——看起來很輕易解決，但最終被證實是不成能的，你最多只能找到一些近似的方式。

不外在很多時辰，“差點就對”往往意味著“差一點就騙到你”，可以拿來看成一個數學打趣或惡作劇。好比左圖中，上面阿誰直角三角形被切當作四個部門。這些部門從頭組合為下面的直角三角形時，會多出一個正方形的空地。那么，這個空地是從哪里來的？

這個謎題被稱為“掉蹤的正方形”，它是由美國業余魔術師保羅·嘉理在1953年提出的。謎題的解答很簡單，但很多人都很難想到。圖中上下兩個年夜“三角形”其實不是真正的三角形，因為斜邊不是一條直線，而是有一個小彎折：藍色三角形斜邊的斜率為0.4，而紅色三角形斜邊的斜率為0.375。這一不同很難被人所察覺，于是就導致了這個看似悖論的謎題。

此外，在美國動畫片《辛普森一家》的某一集中，還呈現了一個令很多人年夜吃一驚的等式：3987¹²+4365¹²=4472¹²。這似乎直接否認了費馬年夜心猿意馬理，即當n年夜于2時，xⁿ+ yⁿ= zⁿ的方程是沒有整數解的。若是你把這些數字輸入一個袖珍計較器里，你會發現這個等式似乎是當作立的。但若是你有能顯示更多位數的計較器，你會發現3987¹²+4365¹²開12次方的成果為4472.0000000070592907…，而不是4472。固然差值竟然小于1億分之一，但等式其實并不當作立，所以費馬可以安心了。

就差一點也有效

在日常糊口中最有效的一個差點就對的數學，就是2^7/12的成果是1.498307…（就是27開12次方）幾乎等于1.5。這是西方音樂的十二平均律的根本，也是鋼琴在每一個純八度音程有12個鍵的原因。

音程就是兩個單音之間的頻率凹凸關系。好比純八度音程和純五度音程——頻率比為2∶1的兩個單音之間的音程被稱為純八度音程，頻率比為3∶2的被稱為純五度音程。

在音樂的成長過程中，音樂家們但愿有一套尺度，能發生出一組單音序列，并且相鄰兩個單音的音程得是等比的，如許就便利調試各類樂器。若是該尺度發生的單音，還能構成純八度音程、純五度音程等各類常見音程，那將是一個很完美的工作。那么怎么能“包含萬象”呢？后來，音樂家們提出了一個尺度，將八度的音程按頻率等比例地分當作十二等份，每一等份稱為一個半音即小二度。一個年夜二度則是兩等份。每兩個相鄰的單音之間的頻率比為2^1/12。這種發生一組單音的法子就是十二平均律。

十二平均律發生的一組單音中，每個單音后的第7個單音，與本來的單音的頻率比則是2^7/12，約為1.498307，年夜致與3/2相等，這兩個單音的音程就是一個純五度音程。于是，這種“差點就對”使得十二平均律發生的單音，除了能構成純八度音程以外，還能近似地構成純五度音程。其他近似的“差點就對”，還能讓十二平均律發生的單音年夜致構成純四度、年夜三度等音程。于是，現代樂器的制造，都采用十二平均律來確定單音。

另一些差點就對的數學，卻能給數學自己帶來重年夜的影響。例如，拉馬努金常數e^πㄏ163，約等于262537412640768743.99999999999925，很是接近整數。按理說，e、π和ㄏ163都是無理數，它們組合在一路竟然很是接近一個整數，這是一件很是神奇的工作。數學家認為，這不是什么巧合，而是某種更深一層的數學紀律導致的。具體的原因詮釋起來比力復雜，但可以透露的一點是，該問題與數字163有關。此外，這個問題激發的聯系與怪獸月光理論（見“拓展閱讀”）很近似。

總之，真實宿世界往往是不完美的，然而差點就對的數學卻能給實際帶來一些近似的完美。就像生物學家發現了一個新物種一樣，很多數學家起頭對這種數學發生了極年夜地樂趣。對它們的進一步研究，必定還能帶來更多意想不到的發現。

拓展閱讀

怪獸月光理論

故事是如許的：1978年，英國數學家約翰·麥凱提出了一個既簡單又怪僻的等式：196884=196883+1。第一個數字是196884，它是j函數的系數，而j函數是數論中的一個主要的多項式。而196883是與一個叫做怪獸群的數學對象有關的數字。很多人看到這個等式可能會聳聳肩，然后就略過了，但這個等式卻引起了一些數學家的樂趣，他們決議細心研究。最終，他們發現兩個看似無關的數學范疇——數論和怪獸群——竟能聯系起來。這種聯系是所謂的怪獸月光理論，它甚至可能對其他學科帶來更普遍的意義。例如，美國聞名物理學家愛德華·威滕就猜測，把怪獸月光理論與弦理論連系起來，也許能獲得一個描述量子引力的新模子。

發表于 2018-06-04 00:00
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