《生活大爆炸》即將完結時，謝爾頓猜想被證明出來了
史上收視率最高的美劇《糊口大爆炸》終于要在持續播出 12 年后落下帷幕。正在這個感傷的辭別時節，《美國數學月刊》頒發了一篇有趣的論文，標題問題是《謝爾頓猜想的證實》。
在《糊口大爆炸》中，理論物理學家謝爾頓對 73 這個素數情有獨鐘，謝爾頓認為這個素數是最美好的（the best）。他穿的衣服上就印有 73 這個數字。
73 到底有什么出格之處，能讓抉剔而奇葩的謝爾頓為之癡迷？
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為什么是 73？
我們知道，這個宿世界上的復雜事物可以經由過程排序變得簡單而清楚，好比學生在黌舍里有學號，員工在公司里有員工號，在快餐店等餐也有列隊序號。素數也一樣，早就兩千多年前，歐幾里得就證實了素數有無限多個。我們可以引入一組“索引序號”，將素數從小到大擺列。例如，持續的素數 2、3、5、7……被編入索引序號 1、2、3、4……
按照序號擺列，73 是第 21 個素數。
按照數學家的尺度寫法，可以寫當作 P(21) = 73。
在這種寫法中，P(n)是一個數論函數（所謂數論函數，是說這個函數的自變量是正整數），P 暗示素數（Prime number），n 的取值規模籠蓋全數持續的正整數。
遵照這種寫法，我們可以發現，第 12 個素數是 37。也就是說 P(12) = 37。
在《糊口大爆炸》中，謝爾頓注重到一個很有趣的事實，那就是對 73 與 37 這兩個素數來說，它們正好存在有趣的對稱性：P(21) = 73，而若是我們把素數 73 倒過來寫當作 37、把序數 21 倒過來寫當作 12，這時 P(12) = 37 同樣當作立。
謝爾頓喜好 73 這個素數，一個主要原因就在于這背后的鏡像對稱性。
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73 與 37 的區別：積性
看到這里，你可能會問：從鏡像對稱性上來說，73 和 37 的地位是平等的，沒有誰高誰低。既然如斯，為什么謝爾頓會感覺 73 比 37 更具有科學美感呢？
在劇中，謝爾頓沒有給出進一步的詮釋，但實際宿世界中的數學家卻“替”謝爾頓研究起這個問題。
莫寧賽德學院數學副傳授克里斯·斯派斯（Chris Spice）與兩位數學系學生注重到，73 不單具有鏡像對稱性，它還具有別的一個性質，那就是“積性”（product property）。
積性的界說很簡單。一個素數 p(n)若是是有“積性”的，那么，p(n)中的每一位阿拉伯數字的乘積正好等于 n。
例如：
P(7) = 17，1×7 = 7
P(21) = 73，7×3 = 21
P(181440) = 2475989，
2×4×7×5×9×8×9 = 181440
我們注重到，謝爾頓最喜好的 73 是一個具有積性的素數。可是，對于 37 來說，它固然有鏡像對稱性，但卻沒有積性：3×7 = 21，與序號 12 不符。
這就是 37 不如 73 美好的原因。
當然，這些數學家不會知足于此。在此根本上，他們在 2015 年的一篇論文中正式提出了謝爾頓猜想：除了 73 這個素數同時存在鏡像對稱性與積性，不存在其他素數同時具備這兩種性質。
知足該前提的素數，也被稱作謝爾頓素數。也就是說，論文作者認為，73 是獨一的謝爾頓素數。
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證實謝爾頓猜想
謝爾頓猜想的提出看似有點搞笑，因為這就仿佛說《射雕英雄傳》里的黃蓉證實了 n 階幻方的存在性心猿意馬理（具體參看黃蓉與瑛姑的對話那一部門內容）。
可是，不成否定的是，固然劇中的謝爾頓聲稱 73 是“最美好的素數”（the best），但謝爾頓并沒有說 73 是“并世無雙”（unique）的。（因為這部劇的科學編劇也不知道 73 到底是不是獨一的謝爾頓素數。）
直到本年 2 月，環境終于變了。斯派斯與達特茅斯大學數學傳授卡爾·波默朗斯（Carl Pomerance）在美國數學月刊上刊發論文，證實了謝爾頓猜想。
兩位數學家要解決的問題是，73 到底是不是獨一的謝爾頓素數（同時具有鏡像對稱性與積性）。
因為理論上有無限多的素數，所以若何縮小搜刮的規模，變得十分主要。
在論文中，作者傳播鼓吹，具有積性的素數，只有上文提到的三個。但要證實這一點，就需要一些數論常識了。此中最主要的是素數心猿意馬理，因為有了素數心猿意馬理，就可以知道我們能知道第 n 個素數大要等于幾多。
有了素數心猿意馬理，按照積性的界說，可以獲得一個主要的結論：若是一個素數很是大，那么它必定不具有積性。從嚴酷的數學推導可以估算出，當素數的位數跨越 46 位的時辰，這個素數必定不成能具有積性。
所以，以 10 的 46 次方作為分界線，素數被分為兩部門：大于 10^46 的素數，必定沒有積性，是以證實謝爾頓猜想時可以忽略這部門；而小于 10^46 的素數是可以具有積性的，它們才是我們應該關心的。
由此，論文作者的搜刮規模獲得了限制。這個工作比張益唐昔時對孿生素數猜想的論證過程要簡單得多，因為張益唐要面臨的是無限多個素數，不竭縮小規模，最后逼到一個極限。而波默朗斯與斯派斯只需要面臨小于 10^46 的那些小素數。
卡爾·波默朗斯在詮釋對謝爾頓猜想的證實。（圖片來歷：Eli Burakian）這兩位傳授的論文一共有 11 頁。他們在論文中部門依靠數學技巧，部門依靠計較機編程，最后檢索完畢，證實了 73 確實是獨一的謝爾頓素數。
當《糊口大爆炸》的科學參謀、加州大學洛杉磯分校物理傳授戴維·薩爾茨伯格傳聞了“謝爾頓猜想”被證實后，他聯系上了作者，扣問是否可以在接下來的《糊口大爆炸》中利用這一結論。也許，在最后一季的最后一集中，我們可以聽到謝爾頓親口說出：“謝爾頓猜想被證實了”！
- 發表于 2019-05-18 22:27
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