那些高懸賞的數學問題解決了嗎？

You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.

——今世大數學家Mikhail Gromov

撰文 | 林開亮

也許汗青上第一個將錢直接與數學掛鉤的數學家是古希臘數學家歐幾里得。據說，曾經有個年青人跟從歐幾里得進修幾何，當他學完第一個命題今后就問教員，進修這些工具有什么用。歐幾里得懶得理他，叫來家丁，叮囑道：

給他三毛錢，打發他滾開！

在今日之中國，與這個古希臘年青人抱有同樣設法的，也大有人在（真是陰魂不散呀！）。甚至近似的情景也一度再現，我就親見微信群里發生這樣一幕，有人拿出一個標題問題請大師會商，下面有人就說“這標題問題做出來有什么用”，于是出題人當即發了一個紅包。在我看來，其用意與歐幾里得千篇一律：請你閉嘴！

也許良多人深信司馬遷在《史記》里的一句話“全國熙熙，皆為利來；全國攘攘，皆為利往”，但凡做點什么工作，都先想著是否能獲得某些現實的益處。對于很多喜愛學問的人而言，他們從做學問中所享受到的歡愉就是無限的財富，并且遠非物質財富可以對比。

當然，財帛固然是身外之物，但對大大都人而言，畢竟是一個實其實在的誘惑。并且，再伶俐厲害的人，可能也有他火急想要解決但本身一時又無法霸占的問題。于是就降生了八門五花的有獎賞格問題。這樣的問題往往是公開的，一旦有人解決了問題，就會獲得提問者允諾的獎金或獎品。

當今數學界最有名的有獎賞格問題乃“百萬大獎問題”（Millennium Prize Problems），由美國 Clay 數學研究地點 2000 年提出，這個清單中有七個賞格問題，每個賞格 100 萬美元。可以想見，這些問題都是大問題，不適合在這篇小文章中介紹，有樂趣的讀者可以參考下書。

其實更多的賞格問題是由數學家個別而不是研究機構提出的。例如，葛立恒傳授曾提到，對下述問題賞格 1000 美元。

對此有樂趣的讀者還可以拜見數學家 R. K. Guy（1916年出生，9 月底就要滿 103 歲）的《數論中未解決的問題》B.33 節 (中譯本第 115 頁)。這書中 F.15 節(中譯本第 327 頁) 還提到了葛立恒的下述問題：

這個問題由葛立恒 1970 年在《美國數學月刊》上提出，直到 26 年今后，才由 Balasubramanian 和Soundararajan 給出完整解決（謎底是必定的），他們的論文[1]近 40 頁。2018 年, B. Bosek 等將上述猜想推廣為一個圖論成果，有樂趣的讀者可以讀讀這篇不足 4 頁的短文[2]：Graph coloring and Graham’s greatest common divisor problem, Discrete Mathematics,Volume 341, Issue 3, March 2018, Pages 781-785.

葛立恒的老友、匈牙利數學家 Paul Erd?s (1913–1996) ，以提出賞格問題而著稱。例如，他有以下一個賞格3000 美元的問題：

Selfridge, Wagstaff 和 Pomerance 為下述問題供給了 620 美元獎金：

固然 John Selfridge (1927–2010) 已顛末宿世，但賞格仍然有用，有樂趣的讀者可拜見 John Selfridge 的wikipedia 條目。關于本題的布景，可拜見前面提到的《數論中未解決的問題》A.12 節 (中譯本第 40 頁)。

下述問題由 Anatole Katok (1944–2018) 賞格 10000 歐元，考慮到只有少少數人大白其寄義，我們就直接引用原文了：

有樂趣的讀者可拜見 A. Zorich 的綜述文章Flat surfaces第 13 頁[3]。

在中國，也有一位數學家提出了很多賞格問題，他就是南京大學數學系的孫智偉傳授。他在其本家兒頁[4]發布了幾百個猜想，涉及數論、組合、行列式等，以下我們拔取幾個有代表性的分享給讀者。

該猜想已經對 2×10¹⁰以內的 n 驗證。孫智偉傳授對此猜想賞格 3500 美元。注重，3 與 5 剛好是后面兩項的底數。

Giovanni Resta 驗證該猜想對 10¹⁰以內的 n 當作立。孫智偉傳授對此猜想賞格 2500 美元。

Yaakov Baruch 驗證該猜想對 2×10¹²以內的 n 當作立。孫智偉傳授對此猜想賞格 2468 美元。

侯慶虎對 10¹⁰的 n 驗證了這一猜想。孫智偉傳授賞格 2400 美元。一個近似的猜想如下：

侯慶虎對 10¹⁰的 n 驗證了這一猜想。孫智偉傳授賞格 1350 美元。

孫智偉傳授證實了 x, y, z 可以取為整數。他對此猜想賞格 135 美元。

孫智偉傳授對此猜想以及一個平行猜想共賞格 500美元。

孫智偉傳授還有一個可能超越人類解決能力的猜想（2013年提出，未賞格），如下：

以上猜想是關于整數或分數的特別暗示的，下面還有一個與圓周率 π 相關的無限級數的猜想。

孫智偉傳授 2011 年提出上述猜想，共賞格 300 美元。今朝孫傳授正在寫一本書《數論與組合中的新猜想》，本年年末交稿，將由哈工大出書社出書。對以上這些猜想有樂趣的讀者，可瀏覽孫傳授的本家兒頁，此中包含更多的信息。網上也可以搜到其他一些相關的信息，例如這篇論文[5]解決了孫傳授的一個賞格 520 美元的猜想。

當然，大大都公開的數學問題都是沒有賞格的，賞格更多的是為了引起部門人的存眷，并表達對解答者的一個鼓動勉勵。現現在，微信交流群與公家號中也有不少人發布數學問題征解，鞭策并加速了數學的交流。一個出色的互動案例由三峽大學旌旗燈號與信息處置重點嘗試室王仕奎傳授與美國伯克利嘗試室的邵美悅博士供給。

據王傳授奉告，他們后來又進一步會商其他問題，并合作頒發論文《線性相位 FIR 濾波器的充實需要前提》，將現有教科書上的一個細節進行了嚴密化。由此可見，交流互動何其有益！

在“許康華競賽優學”公家號，還有很多賞格問題，有良多都已經獲得解決，不外仍然有一些懸而未決，以下是一些代表：

此問題由山西大學從屬中學王永喜教員征解，賞格500 元人平易近幣。王永喜教員還有別的一個征解問題:

此中 det 暗示行列式。王教員對此問題賞格 200 元人平易近幣。

下述問題由美國伯克利嘗試室的邵美悅博士征解（無賞格），注重與之近似的一個問題已經為駱來根解決。

以下四個問題由杭州許康華教員征解，此中第 9 題

賞格 200 元人平易近幣，第 10-12 題各賞格 300 元人平易近幣。

我還想申明兩點：

第一，本文介紹了部門賞格問題，也許重賞之下必有勇夫，為了獎金而有志于解決這些問題的伴侶，請你必然先找提問者（不是我）確認問題的近況以及允諾是否有用。此外，即便有些人是為了榮耀而去思慮這些問題，我也不克不及確認這里介紹的一些問題是否是真正的好問題，因為今世大數學家Mikhail Gromov 曾說：You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.

第二，我仍是建議對數學有樂趣的伴侶，多去思慮本身有感受的問題，這樣收成可能更大些。我們的本意是讓大師領會到，數學中一向有不少尚未解決的問題。若是你也有一個很關心的難題，能本身想出來當然最好，若是一向一籌莫展，可以考慮拿出來分享甚至賞格征解。例如，您可考慮投稿“許康華競賽優學”公家號，這里臥虎藏龍，說不心猿意馬就有解決可能甚至合作機遇。就我小我而言，我有個小問題愿意賞格 500 元人平易近幣給第一個在《數學傳布》頒發其解答的作者 (許可合作，所有作者獎金之和是 500 元[6])，該問題如下：

現有成果表白，當 z₁, . . . , z₅知足必然前提時，命題當作立。若是要問我小我的定見，我傾標的目的于相信它是對的。

片子《東邪西毒》劇照

最后，我想申明一下我小我賞格的念頭。本家兒如果但愿看到這個問題若何被解決，我曾經解決了四個點z1, z2, z3, z4景象下的對應問題，可是方式未能推廣到五個點的景象，這讓我很沒轍。之所以要求解答者在《數學傳布》頒發，有兩個原因：第一，本人未必有足夠的時候和精神來判定可能的解答是否準確；第二，我想經由過程這種體例表達對《數學傳布》的撐持，我與該刊已有十年交往，讀稿與投稿都令我受益良多。7其實，獎金的誘惑遠遠趕不上在《數學傳布》頒發一篇有趣文章所帶來的喜悅。我但愿，不多久就能在《數學傳布》上看到這樣一篇標致文章。

稱謝：感激南京大學孫智偉傳授、三峽大學王仕奎傳授、吉安市吉水縣阜田中學孫志躍教員、山西大學從屬中學王永喜教員、杭州許康華教員、美國伯克利嘗試室邵美悅博士對作者供給幫忙。作者還參考了 mathoverflow 論壇上的會商。

腳注

[1]http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7511.pdf

[2]https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0012365X17303898

[3]https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf

[4]http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/

[5]http://arminstraub.com/downloads/pub/sun520.pdf

[6]極有可能, 作者將從《數學傳布》獲得的稿酬都比這里的賞格要多.

[7]原文就頒發于《數學傳布》，見林開亮，Mordell的一個問題，《數學傳布》，第 35 卷第 2 期（2011 年），51–58.

HTML格局：

https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=35205

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