等號是數學的基石，數學中的相等（equality）似乎是最沒爭議的概念。但越來越多的數學家起頭認為，等號是數學的原初錯誤，他們想要用等價（equivalence）的說話從頭表述數學，不是存眷描述對象的具體體例，而是將對象彼此聯系關系的各類分歧體例考慮在內。這種存眷等價性的數學理論就是所謂的范圍論（category theory）。

數學家 Jacob Lurie 先后寫作了944頁的《高階范圍論》和1553頁的《高階代數》來闡述范圍論的思惟，這兩本程碑式著作的影響被認為堪與格羅滕迪克的代數幾何革命相提并論。但新思惟的提出也帶來了龐大的挑戰：數學界要若何接收這些新常識？當數學被從頭書寫時，數學家群體要若何應對？常識的真正目標到底是什么？

事實上，范圍論除了作為一種極端抽象的數學理論之外，也已經應用到了物理學范疇來描寫多體量子糾纏（也就是拓撲序）這種全新的天然現象。在跋文中，「返樸」總編文小剛傳授、深圳量子科學與工程研究院孔良研究員介紹了數學和物理之間這種深刻的聯系關系，他們認為，這個時代是數學和物理融合的黃金時代。

撰文 | Kevin Hartnett

翻譯 | 唐璐

等號是數學的基石。它似乎組成了一個完全根基和無可爭議的命題：這些工具是完全一樣的。

但越來越多的數學家認為等號是數學的原初錯誤。他們將其視為一種虛飾，它袒護了量的相關體例中主要的復雜性——這些復雜性可以揭示大量問題的謎底。他們想用等價這種更寬松的說話來從頭表述數學。

杜克大學的喬納森·坎貝爾（Jonathan Campbell）暗示：“我們一向用的是相等（equality）的概念，其實該當是等價（equivalence）。”

這些數學家中最精采的是雅各布·盧里（Jacob Lurie）。本年7月，41歲的盧里分開了他在哈佛大學的終身職位，前去新澤西州普林斯頓高檔研究院任教，那邊云集了宿世界上很多最有聲望的數學家。

盧里的思惟在任何范疇都是空前絕后的。他用厚達千頁的專業著作，經由過程超越等號，構建了一個較著分歧的體例來理解一些最主要的數學概念。盧里的導師、哈佛大學數學家邁克爾·霍普金斯（Michael Hopkins）說：“我想他認為這才是思慮數學的準確體例。”

盧里在2009年出書了他的第一本書《高階范圍論》（Higher Topos Theory）。這本944頁的書就像一本手冊，教你若何用新的“無限范圍（infinity categories）”的說話來詮釋已經成立起來的數學范疇。在那之后的幾年里，盧里的思惟影響到越來越普遍的數學范疇。很多數學家認為它們對數學的將來是不成或缺的。西海說神聊大學的約翰·弗朗西斯（John Francis）說：“一旦學會了無限范圍，就沒有人會回頭。”

IAS數學家雅各布·盧里在2014年獲得了300萬美元的數學沖破獎。| 圖片來歷：麥克阿瑟基金會

然而，無限范圍的擴展也揭示出，像數學這樣的古老范疇一旦試圖接收某個重大的新思惟，尤其是當這種思惟會挑戰其最主要概念的意義時，它將不得不履歷當作長的疾苦。愛丁堡大學的克拉克·巴維克（Clark Barwick）說：“數學界的保守力量很強。若是不克不及給出令人信服的來由，就不要指望任何一群數學家會毫不游移地敏捷接管任何新東西。”

盡管很多數學家已經接管了無限范圍，可是很少有人完整閱讀過盧里高度抽象的長篇專著。是以，一些基于他的思惟的工作并不像數學中凡是那樣嚴謹。

康奈爾大學數學家茵娜·扎哈里維奇（Inna Zakharevich）說：“我聽到人說，‘在盧里的書里講過。’我說，‘真的嗎？你引用的是8000頁的文獻。這不是引用，這是抱大腿。’”

數學家們仍然在盡力理解盧里的思惟的主要性和介紹它們的怪異體例。他們還在提煉和從頭包裝他對無限范圍的表示體例，以便讓更多的數學家能理解它們。在某種意義上，他們正在從事任何革命之后必需進行的治理工作，將變化性文本轉化為日常法令。經由過程這樣做，他們將數學的將來成立在等價的根本上，而不再是在相等的根本上。

1 等價關系的無限之塔

數學中的相等似乎是最沒爭議的概念。兩粒珠子加一粒珠子等于三粒珠子。這有什么好會商的？但最簡單的設法也可能是最具棍騙性的。

自19宿世紀后期以來，數學的根本一向成立在調集上。調集論劃定了機關和操作調集的法則或正義。例如，此中有一個正義說的是，你可以將一個包含兩個元素的調集添加到一個包含一個元素的調集中，從而發生一個包含三個元素的新調集：2+1=3。

證實兩個量相等的形式化做法是將它們配對：將等號右邊的一粒珠子與左邊的一粒珠子配對。當所有的配對完當作后，沒有殘剩的珠子。

調集論能讓人熟悉到，各有三個元素的兩個調集正好能兩兩配對，可是并不輕易察覺到各類分歧的配對體例。你可以將右邊的第一顆珠子與左邊的第一顆珠子配對，或者將右邊的第一顆珠子與左邊的第二顆珠子配對，以此類推（總共有六種可能的配對體例）。說二加一等于三就忽略了它們相等的所有分歧體例。坎貝爾說，“問題是，配對的體例有良多，當我們說相等的時辰，我們已經忘了它們。”

相等和等價

相等的概念意味著兩個對象是完全一樣的。

等價考慮了兩個對象彼此聯系關系的各類分歧體例。下面的圖暗示了兩個珠子的調集可以彼此配對的6種可能體例。| 圖片來歷：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

這就是等價呈現的處所。相等是一種嚴酷的關系——要么兩者相等要么兩者不等——而等價則有分歧的形式。

當你可以將一個調集中的每個元素與另一個調集中的某個元素完全匹配時，這是一種強等價形式。但好比說，在一個叫做同倫論（homotopy theory）的數學范疇，兩個外形（或幾何空間），若是你在不切割或扯破它的前提下，可以將一個拉伸或壓縮當作另一個，則兩者是等價的。

從同倫論的角度來看，圓盤和空間中的單點是等價的——你可以把圓盤壓縮到單點。然而，將圓盤上的點與單點配對是不成能的。究竟結果，圓盤上有無數個點，而單點只是一個點。

點和圓盤。空間中的圓盤和單點是同倫等價的——不消扯破就可以將圓盤變換當作點。| 圖片來歷：Quanta Magazine

自20宿世紀中期以來，數學家們一向試圖成長一種替代調集論的理論，在這種理論中，從等價性的角度來研究數學更為天然。1945年，數學家塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克萊恩（Saunders Mac Lane）引入了一個新的根基對象，這個對象內嵌了等價性。他們稱之為范圍。

范圍中可以放入任何工具。你可以有哺乳動物范圍，此中包含宿世界上所有的有毛發的溫血哺乳動物。你也可以機關數學對象范圍：調集、幾何空間或者數系。

范圍是有額外元數據的調集，這些額外元數據描述兩個對象彼此聯系關系的所有體例，包羅描述兩個對象等價的所有體例。你還可以將范圍視為幾何對象，此中每個元素都由一個點暗示。

例如，想象一個球面。球面上每個點代表一個分歧的三角形。這些點之間的路徑暗示這些對象之間的等價關系。從范圍論的角度來看，我們不關心描述對象的具體體例，而是關心對象在同類型對象中所處的位置。

三角形的球面。球面上每個點對應一個分歧外形的三角形。| 圖片來歷：Quanta Magazine

扎哈里維奇說：“有良多我們認為是事物的，現實上是事物之間的關系。‘我的丈夫’這個詞，我們把它看成一個對象，但你也可以把它看成我的一種關系。他的某部門是由他和我的關系界說的。”

艾倫伯格和麥克萊恩版本的范圍很適合用于研究強等價形式。可是在20宿世紀下半葉，數學家們起頭越來越多地利用同倫等較弱的等價概念來研究數學。約翰·霍普金斯大學數學家艾米麗·里爾（Emily Riehl）說：“跟著數學變得越來越精巧，我們不成避免地會朝這些更精巧的等同概念成長。”在這些更精巧的等價概念中，關于兩個對象若何彼此聯系關系的信息量急劇增添。艾倫伯格和麥克萊恩的初等范圍無法處置這些。

要領會信息量是若何增添的，先回到暗示了很多三角形的球面。若是你可以將一個三角形拉伸或變形當作另一個三角形，則兩個三角形是同倫等價的。若是有一條路徑毗連曲面上兩點，則兩點是同倫等價的。經由過程研究曲面上點之間的同倫路徑，你現實上是在研究這些點所代表的三角形之間的各類聯系關系體例。

點等價。若是兩點之間至少有一條路徑相連，則兩點同倫等價。| 圖片來歷：Quanta Magazine

但僅僅說兩點是由很多等同的路徑毗連到一路還不敷。你還需要考慮所有這些路徑之間的等價性。是以，除了要問兩點是否等價之外，你還要問，在統一對點上起頭和竣事的兩條路徑是否等價——是否有一條路徑聯系關系這兩條路徑。兩條路徑之間的這條路徑的外形為一個盤，盤的鴻溝就是這兩條路徑。

路徑等價。若是至少有一個盤毗連兩條路徑，則兩條路徑同倫等價。| 圖片來歷：Quanta Magazine

你可以繼續推進。若是兩個盤之間有一條路徑，那么這兩個盤就是等價的，而這條路徑的外形將是三維對象。這些三維對象又可能經由過程四維路徑彼此聯系關系（兩個對象之間的路徑老是比對象自己多一個維度）。

最終，你將成立一個等價關系的無限塔。若是全盤考慮整個塔，你就可以對你所選擇的用球面上的點暗示的任何對象形當作周全的熟悉。

德州大學奧斯汀分校的大衛·本-茲維（David Ben-Zvi）說：“它只是一個球，但事實證實，要理解球的外形，從某種意義上說，你需要到無限遠處去。”

在20宿世紀的最后幾十年里，很多數學家致力于一個“無限范圍”理論——這個理論可以研究等價關系的無限塔。有幾小我取得了本色性進展。但只有一小我當作功了。

2 重寫數學

雅各布·盧里關于無限范圍理論的第一篇論文并不當作功。2003年6月5日，這位25歲的年青人在科學預印本網站 arxiv.org 上發布了一份60頁的論文，題為《論無限范圍》（On Infinity Topoi）。在文中他起頭勾勒一些法則，數學家們可以用這些法則研究無限范圍。

第一篇論文沒有獲得遍及好評。讀完文章后不久，芝加哥大學數學家彼得·梅（Peter May）給盧里的導師邁克爾·霍普金斯發了封電子郵件，說盧里的論文有一些有趣的設法，但感受很不完美，需要更嚴酷。梅說：“我標的目的邁克爾表達了我們的保寄望見，邁克爾傳達給了雅各布。”

不清晰盧里是否曾把梅的郵件視為一種挑戰，或者他早就打算好了下一步的步履。（盧里多次拒絕了就此事接管采訪的請求。）我們只知道，在受到攻訐后，盧里進入了一個興旺的多產期，這段期間已經當作為傳奇。

梅說：“我無法進入雅各布的腦子里，我不克不及切當地說出他那時在想什么。但毫無疑問，我們攻訐的文稿與最終版本之間存在龐大差別，后者完滿是在更高的數學層面上。”

2006年，盧里在 arxiv.org上 發布了《高階范圍論》的書稿。在這項里程碑式的當作就中，他用一種新的數學根本，基于無限范圍的根本，成立了代替調集論的機制。伊利諾伊大學厄巴納-噴鼻檳分校數學家查爾斯·瑞澤克（Charles Rezk）做了關于無限范圍論主要的早期工作，他說：“他用上千頁篇幅締造了我們此刻都在利用的根本機制。我想我用一輩子都寫不出《高階范圍論》，他用兩三年就完當作了。”

然后在2011年，盧里又寫了一本篇幅更長的專著。在書中，他從頭發現了代數。

代數為處置方程式供給了一套優雅的形式法則。數學家們一向利用這些法則來證實新心猿意馬理。可是代數是在固心猿意馬不動的等號均衡木上表演體操。若是你去失落這些均衡木，用更精巧的等價概念來取代它們，有些操作就會變得堅苦得多。

以小學傳授的第一條代數法則連系律為例：3個或3個以上數字的和或乘積并不取決于這些數字是若何分組的，好比 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4。

若是用相等概念，要證實連系律對任何包含3個或3個以上數字的列表都合用是很輕易的。但若是利用強等價概念，就會很復雜。若是利用更精巧的等價概念時，即使是像連系律這樣的簡單法則也會變得很是棘手。

連系律圖。在代數中，連系律告訴我們 (a × b) × c = a × (b × c)。而一旦引入等價，僅靠連系律無法包管所有組合都有不異的乘積。這個構圖稱為（5元素）連系多面體，暗示了組合之間的等價關系。圖中每個極點暗示一種組合。共邊和共面的組合按照連系律彼此等價。| 圖片來歷：Quanta Magazine

蒙大拿州立大學數學家戴維·阿亞拉（David Ayala）說：“這使問題變得很是復雜，某種水平上使得我們抱負的新版本的數學似乎不實際。”

在最新版長達1553頁的《高階代數》（Higher Algebra）中，盧里成長了無限范圍版本的連系律——以及其他很多代數心猿意馬理，它們配合奠基了等價數學的根本。

總而言之，他的兩本書很是震撼，是激發科學革命的那種著作。里爾說：“規模很是復雜。這個當作就可以與格羅滕迪克（Grothendieck）的代數幾何革命相提并論。”

然而革命需要時候，正如盧里的書出書后數學家們發現的那樣，可能會有很長時候的紊亂。

3 消化一頭牛

數學家以思維清楚著稱：證實是否準確，設法是否有用。可是數學家也是人類，他們對新設法的反映同人類一樣：本家兒不雅、感性、短長棄取。

坎貝爾說：“很多數學讀物的基調是，數學家們是在尋找閃閃發光的完美真理。其實不是這樣的。他們有本身的咀嚼和感覺舒適的范疇，他們會因為審美或小我原因摒棄本身不喜好的工具。”

從這個角度來說，盧里的工作帶來了一個大挑戰。甚至可以說是一種搬弄：這里有一種更好的研究數學的方式。對于那些職業生活生計中一向致力于研究被盧里的工作超越的方式的數學家們來說，尤其如斯。

弗朗西斯說：“這個過程中存在一種嚴重，人們并不老是樂于看到下一代重寫他們的作品。這一點對無限范圍論有影響，以前的很多工作都被重寫了。”

除此之外，其他一些身分也導致盧里的作品很難消化。長篇高文意味著數學家們需要破費大量時候來閱讀。對于處于職業生活生計中期的忙碌數學家來說，這幾乎是不成能完當作的使命，而對于研究生來說，他們只有幾年時候來做出能讓本身找到工作的當作果，因而這也是一個高風險峻求。

別的盧里的工作是高度抽象的，即使與高檔數學中其他高度抽象的內容比擬也是如斯。就可采取水平而言，它并不適合所有人。坎貝爾說：“一些人認為盧里的書是抽象的廢話，一些人則甘之如飴，一些人的反映介于兩者之間，一些人則是完全不睬解。”

科學界一向在接收新思惟，但凡是很遲緩，感受就像一大群人在一路行進。當大的新設法呈現時，會對科學界的常識接收機制組成挑戰。坎貝爾說：“一次性導入了太多工具，有點像蟒蛇試圖吞下一頭牛。有一大團工具正在經由過程科學界。”

若是你是數學家，認為盧里的方式是解決數學問題的更好方式，那么進步的道路將很孤傲。很少有人讀過盧里的著作，沒有教科書對它進行提煉，也沒有鉆研會讓你明白偏向。麻省理工學院的研究生彼得·海恩（Peter Haine）花了一年時候閱讀盧里的著作，他說：“讓你能真正學會這些工具的體例，就是坐下來本身脫手。我認為這是最堅苦的。不僅僅是坐下來本身脫手，而是經由過程坐下來讀800多頁的《高階范圍論》來本身做。”

同很多新發現一樣，《高階范圍論》要求數學家們與驅動理論的機制進行大量互動。這就像要求16歲的孩子先得學會改裝引擎才能拿到駕照。與盧里合作的哈佛數學家丹尼斯·蓋特格里（Dennis Gaitsgory）說，“若是有一個對駕駛員更友愛的版本，就更輕易被更普遍的數學不雅眾理解。”

跟著人們起頭閱讀盧里的著作，并在本身的研究中利用無限范圍，其他問題也呈現了。數學家們會用無限范圍來寫論文。期刊審稿人收到這些文章后會說：這是什么？

巴維克說：“在這種環境下，期刊要么反饋荒謬的審稿定見，表示出很深的曲解，要么花了幾年時候才頒發。它會讓人不舒暢，因為一篇未頒發的論文在你的網站上掛了良多年，顯得有點風趣。”

然而，最大的問題不是那些沒有頒發的論文，而是那些利用了無限范圍而且確實頒發了可是有錯誤的論文。

盧里的書是關于無限范圍的獨一權勢巨子文獻。它們是完全嚴酷的，可是很難完全把握。尤其不適合作為參考手冊——很難查找具體的心猿意馬理，或者查抄在其他論文中可能碰到的無限范圍的具體應用是否當作立。

加拿大蒙特利爾魁海說神聊克大學數學家安德烈·喬亞爾（André Joyal）的早期工作在盧里的書中起到了主要感化，他說：“大大都在這個范疇工作的人都沒有系統閱讀過盧里的書。這需要破費大量時候和精神，所以我們只能認為他書中的內容是準確的，因為幾乎每次我們查抄某些內容時，它都是準確的。事實上，一向如斯。”

盧里的書難讀也導致后來一些基于這些書的研究不敷精確。盧里的書很難讀，很難引用，也很難用來查對別人的成果。扎哈里維奇說：“一般的無限范圍文獻給人一種草率的感受。”

盡管數學很形式化，但數學并不是只需要只有牧師才能閱讀的神圣經文。這個范疇既需要小冊子，也需要大部頭的冊本，除了原初的啟迪，還需要詮釋性作品。此刻，《無限范圍論》仍然本家兒要以書架上的大部頭的形式存在。

瑞澤克說：“你可以采納‘雅各書記訴了你該做什么，這就夠了’的立場。你也可以說，‘我們不知道若何恰當地表述這個本家兒題，以便人們可以拿起它并運用它。’”

然而，一些數學家決議迎接挑戰，讓更多的人在他們的范疇里可以把無限范圍作為一種手藝加以應用。

4 對用戶友愛的理論

為了將無限范圍轉化為可以做真正數學研究的對象，盧里必需證實有關它們的心猿意馬理。為了做到這一點，他必需選擇一個布景來成立這些證實，就像研究幾何的人必需選擇一個坐標系一樣。數學家們稱之為選擇模子。

盧里在擬范圍（quasi-categories）模子中成長了無限范圍。其他數學家以前曾經在分歧的模子中成長了無限范圍。盡管這些測驗考試遠沒有盧里那么周全，但在某些環境下，它們更輕易處置。“雅各布選擇了一個模子，并查抄了在這個模子中是否一切都當作立，但這往往不是最輕易的模子，”扎哈里維奇說。

在幾何學中，數學家們切確地知道若何在坐標系之間切換。他們還證實了若是心猿意馬理在一個坐標系中被證實，則它在另一個坐標系中也當作立。

對于無限范圍，沒有這樣的包管。然而，當數學家們利用無限范圍撰寫論文時，他們往往輕率地在模子之間切換，假設（但不證實）他們的成果可以連結當作立。海恩說：“人們不會具體申明他們在做什么，他們會在這些分歧的模子之間切換，然后說，‘哦，都是一樣的’。但這不是證實。”

在曩昔六年里，兩位數學家一向在盡力做出這樣的包管。里爾和來自澳大利亞麥覺理大學（Macquarie University）的多米尼克·維里蒂（Dominic Verity）一向在研究一種描述無限范圍的方式，這種方式超越了以前限制于模子的框架所造當作的堅苦。他們的工作成立在巴維克等人之前的工作的根本上，已經證實了高階范圍論中的很多心猿意馬理都是當作立的，無論你將它們應用于哪個模子中。他們用一種得當的體例證實了這種兼容性，里爾詮釋說：“我們正在研究的無限范圍，其對象自己就是無限范圍。范圍論在這里就像在吞食本身。”

約翰·霍普金斯大學數學家艾米麗·里爾（Emily Riehl）正在幫忙指導高階范圍理論的成長。| 圖片來歷：Will Kirk /約翰·霍普金斯大學

里爾和維里蒂還但愿以另一種體例鞭策無限范圍論的成長。他們說明了無限范圍論無論在哪個模子中都當作立的那些特征。這種“與模子無關”的暗示具有即插即用的特征，他們但愿，這種特征可以或許讓那些最初只能經由過程《高階范圍論》進入這個范疇因而分開的數學家能回到這個范疇。

“要進入這個宿世界，你必需穿過一條護城河，而他們正在放下吊橋。”霍普金斯說道。

里爾和維里蒂但愿能在來歲完當作他們的工作。與此同時，盧里比來起頭了一個名為巖豚鼠（Kerodon）的項目，他籌算把這個項目作為維基百科式的高階范圍論教科書。在《高階范圍論》使等價的數學形式化13年之后，這些倡議是提煉和推廣這個思惟的新測驗考試——使等價的數學加倍普及。

巖豚鼠（Kerodon）項目。| 圖片來歷：kerodon.net

喬亞爾說：“天才在數學成長中飾演了主要的腳色，但現實上常識自己是學術界勾當的成果。常識的真正目標是當作為社區的常識，而不是一兩小我的常識。”

后 記

數學和物理融合的黃金時代

撰文 | 文小剛 （麻省理工學院終身傳授、格林講席傳授）

物理學的目標是精確地輿解和描述各類各樣的天然現象。但我們的物理宿世界是如斯豐碩多彩，使我們無法用日常糊口所成長出來的說話來精確描寫這些天然現象。出格是當我們發現一類全新的天然現象時，物理學家經常發現他們需要引入新數學、發現新說話來描寫這些天然現象。

像牛頓需要發現微積分來描寫他的力學理論所描寫的曲線活動。為了描寫電磁現象，我們需要用到數學中的纖維叢理論，而為了描寫引力現象，我們需要黎曼幾何理論。當我們發現微不雅宿世界的量子現象后，我們意識到描寫我們宿世界的數學理論并不是微積分、纖維叢和黎曼幾何，而是帶張量乘法的線性代數。

在凝集態物理和材料科學中，我們需要理解和描寫千萬萬萬、各類各樣的物質態。朗道以他深刻的洞察指出，各類各樣的物質態其實來歷于它們內部各類各樣分歧的對稱性破缺。于是，描寫對稱性的群論就當作為我們描寫各類各樣物質態的數學說話。

可是曩昔30年來凝集態物理的進展揭示了一大類全新物質態的存在。這一類物質態不是發源于對稱性，而是發源于材猜中的多體量子糾纏。多體量子糾纏（也就是拓撲序）是一種全新的天然現象。我們到底應該用什么樣的數學說話才能描寫這種全新的天然現象呢？

為了理解和描述多體量子糾纏的內部布局，也就是拓撲序，我們可以考慮這一布局所許可的各類各樣的點缺陷，并經由過程這些缺陷的性質來理解和描述這一布局。但一個拓撲序可以有無限多個分歧的缺陷。為領會決這個無限大問題，我們可以從頭界說什么叫做“相等”：當兩個缺陷可以經由過程局部形變而彼此轉換時，我們稱它們是等價的，或者是“相等”的。我們發現拓撲序中的缺陷只有有限多個等價類。這些分歧類型缺陷的等價關系可所以很是復雜的，因為它們包羅缺陷之間的融合、編織等等局部操作。描寫這些缺陷等價的類的數學理論恰是本文所描述的范圍論。范圍論這一極端抽象的數學就這樣走進了凝集態物理。

其實拓撲序中的缺陷不僅可所以點狀的，還可所以線狀的、面狀的等等。描寫這些更復雜缺陷的等價類的數學說話就是本文所介紹的高階范圍學，或無限范圍學。這些抽象數學理論是描寫多體量子糾纏這一全新物理現象的天然說話。新的數學進入物理意味著物理的新革命。此刻恰是數學和物理高速成長的黃金期間。

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撰文 | 孔良（深圳量子科學與工程研究院，南邊科技大學）

毫無疑問 Jacob Lurie 的工作值得零丁撰文來會商，可是借這篇文章的春風，加一些簡練的評論也可能是有益的。

Jacob Lurie的兩部長篇巨著Higher Topos Theory和Higher Algebra是近曩昔20年數學里面最沖動人心的進展之一。我們知道微積分和線性代數是現代物理和其他科學的根本說話。粗略地講，Higher Topos Theory可以看作是一種新的微積分，而Higher Algebra是一種新的線性代數。它們不僅在一個很高的視角上同一了曩昔的良多數學，并且還供給了一張宏偉的數學新藍圖。而曩昔已知的數學似乎只是這張新藍圖的一角，可以毫不夸張地說，數學才方才起頭。

我還想強調的是，即使在 Lurie 的工作之后，量子場論帶來的物理直覺仍然是激發想象力的源泉。良多 Lurie 沒有問出來的主要問題仍然被不竭地挖掘出來。也就是說， Lurie 幾千頁的浩瀚工程仍然不足以（哪怕是粗略地）描畫數學新藍圖的全貌。大天然給我們的啟迪是超越想象力的。

非論若何，我們城市贊成，這個時代是數學和物理融合的黃金時代。

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對于文中提到的無限范圍以及 Lurie 工作的意義，哥廷根大學數學傳授朱晨暢給出了如下注釋：

文中的無限范圍，也稱為（∞, 1）范圍，因為它的高于等于 2 的 morphisms 都是可逆的。在此之前，其他數學家也曾有過分歧的模子。分歧的良多模子簡直是等價的，它們之間的互比擬較也有一些早期的工作（例如 Julia E. Bergner 的一篇綜述：https://arxiv.org/abs/math/0610239 ）。

但 Lurie 工作的意義不僅僅是給了無限范圍一個更完整的界說系統，而是一種將無限范圍的思惟作為根本，融入今世數學、拓撲、幾何（代數幾何，這方面也有良多來自歐洲的 Toen 團隊的工作），以及代數（ Operad 理論）之中的測驗考試。以志于周全地給數學一個新的，或者說更周全的根本系統。

本文翻譯自Quanta Magazine，原文題目為“With Category Theory, Mathematics Escapes From Equality”。

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