【Mathematica】繪制曲線曲率圓圓心的軌跡
東西/原料
- 電腦
- Mathematica
方式/步調
- 1
假設曲線的參數方程是r[t]，先求出曲線的【單元切標的目的量】：
qie[t_] := Evaluate[D[r[t], t]/Sqrt[D[r[t], t].D[r[t], t]] // FullSimplify]
對參數方程求導，獲得切標的目的量，再歸一化處置，才是單元切標的目的量。
- 2
再求曲線的單元法標的目的量：
對【單元切標的目的量】求導，獲得法標的目的量；
對法標的目的量進行歸一化處置，獲得單元法標的目的量。
dr[t_] := Evaluate[D[qie[t], t]]
fa[t_] := Evaluate[dr[t]/Sqrt[dr[t].dr[t]] // FullSimplify]
注重，必然是對【單元切標的目的量】求導才能獲得法標的目的量，而若是直接對r[t]的導數求導，獲得的一般不是法標的目的量。
- 3
曲率半徑曲直率的倒數：
qulvr[t_] := 1/ArcCurvature[r[t], t]
曲率中間，就是在法標的目的量的偏向上：
qulvzx[t_] := Evaluate[r[t] + qulvr[t]*fa[t]]
- 4
再把曲率圓畫出來：
Circle[qulvzx[tt], qulvr[t] /. t -> tt]
這里要遵守一個求導原則：先求導，在賦值。
不然機械會報錯。
- 5
然后把曲率圓圓心軌跡畫出來。
這個軌跡曲線的參數方程，恰好就是qulvzx[t]。
ParametricPlot[qulvzx[t], {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]]
而原曲線的參數方程是r[t_] := (Sin[2 t]) {Cos[t], Sin[t]}。
- 6
改換原曲線的參數方程：
r[t_] := (Sin[3 t]) {Cos[t], Sin[t]}
這是一條三葉玫瑰線。
- 7
三葉玫瑰線的極坐標方程，加上一個正數，會“膨脹”起來：
r[t_] := (1/3 *(2 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}
- 8
當曲率中間完全位于閉曲線內部，且曲線是簡單曲線，那么這條曲線必然是凸曲線：
r[t_] := (1/21 (20 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}
- 9
再嘗嘗它：
(1/51 (50 + Sin[5 t])) {Cos[t], Sin[t]}
- 10
若是一條平面閉曲線，自己不是簡單曲線，就必然不是凸曲線。
(1/2 (1 + Sin[2 t])) {Cos[t], Sin[t]}
注重事項
- 文首的動態圖，里面藍色曲線的參數方程是{Cos[3 t], Sin[t]}。
- 發表于 2020-01-06 20:00
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