凝望星空，宇宙是什么形狀？

在我們的心中，宇宙似乎永遠存在。但操縱幾何，我們可以摸索各類三維外形。正如彎曲的球面是平面地球的替代品，這些三維外形也供給了“通俗”的無限空間的替代品。

撰文|ERICA KLARREICH

譯者|我叫熊貓大俠

當您凝望夜空時，空間似乎朝著四面八方無限延長。這是我們對宇宙的心智模子，但它紛歧定是準確的。究竟結果，有一段時候，每小我都認為地球是平的，因為我們地球的曲率太微妙以至于無法探測到，球形的地球是不成思議的。

現在，我們都知道地球的外形是一個球。可是我們大大都人很少思考宇宙的外形。正如彎曲的球面是平面地球的替代品，其他三維外形也供給了“通俗”無限空間的替代品。

關于宇宙的外形，我們可以提出兩個分歧但又彼此聯系關系的問題。一個是關于它的幾何：例如角度和面積等精巧的局部測量。另一個是關于它的拓撲：這些局部部件是若何縫合在一路拼當作一個整體外形的。

宇宙學證據表白，我們能看到的那部門宇宙至少可以近似地認為是滑膩而平均的。空間的局部機關在每個點和每個偏向上都是一樣的。只有三種幾何合適這種描述：平展幾何、球面幾何和雙曲幾何。讓我們來摸索這些幾何，還有一些拓撲考量，以及宇宙學證據表白哪個外形最能描述我們的宇宙。

平展幾何

這是我們在中小學學的幾何。三角形的內角和為180度，圓的面積為πr2。最簡單的平展的三維圖形的例子是通俗的無限空間——數學家們稱為歐幾里得空間——但也有其他的平展外形需要考慮。

這些外形很難想象，可是我們可以經由過程二維來成立一些直覺。除了通俗的歐幾里得平面外，我們還可以經由過程剪切平面的某些部門并將其邊緣粘在一路來締造其他平展外形。例如，假設我們剪下一張長方形紙，把它的對邊粘起來：把頂邊和底邊貼起來，我們獲得一個圓柱體：

接著可以把擺布雙方粘起來，獲得一個“甜甜圈”(數學家們稱之為環面)：

此刻，您可能會想，“在我看來這并不服坦”。您說的有點事理。我們在描述平展環面時做了一點四肢舉動。若是您真的想用這種方式用一張紙上做出一個環面，您會碰到堅苦。建造圓柱很輕易，可是把圓柱的兩頭粘起來是做不到的：環面內圈的紙會變皺，而外圈的紙不成能被拉得足夠長。您得用一些有彈性的材料來取代紙。可是這種拉伸扭曲了長度和角度，改變了幾何特征。

在通俗的三維空間中，沒有法子在不扭曲平展幾何特征的環境下，用平面材料構建一個真實的、滑膩的物理環面模子。但我們可以想象出糊口在平展環面上的感受。

想象您是一個二維生物，它糊口的宇宙是一個平展環面。因為這個宇宙的幾何來自于一張平展的紙，所有幾何事實都和泛泛一樣，至少在小規模內是這樣的：三角形的內角和是180度，等等。但我們經由過程切割和粘貼使得拓撲布局發生了改變，這意味著糊口在環面上的體驗將與我們曩昔習慣的感受大不不異。

第一點：環面上有一些直線路徑可以繞一圈回到它們起頭的處所：

這些路徑在環面上看起來是彎曲的，可是對于平展環面上的居平易近來說，他們感覺它們是直的。因為光是沿著直線傳布的，若是您沿著某個偏向標的目的前看，您會看到您本身的后背：

在最初的那張紙上，您看到的光仿佛是從您死后來的，直到它照到左邊，然后又呈現在右邊，就仿佛您在玩一個穿越式的電子游戲：

一個等價的思慮方式是，若是您(或一束光)穿過四個邊的某一個，您會呈現在一個新的“房間”里，但現實上它們是統一個房間，只有了一個新視角。當您在這個宇宙中安步時，您可以穿越到無數個您本來房間的復制房間里。

這意味著您也可以從分歧的偏向看到無限多個分歧的本身。這近似于您看大廳鏡子里的本身，只是這里您的復成品不是反射：

在甜甜圈上，它們對應著很多分歧的回路，經由過程這些回路，光可以從您死后照回到您身上：

近似地，我們可以經由過程粘住立方體或其他盒子的相對面來構建一個平展的三維環面。我們不克不及把這個空間想象當作通俗無限空間中的一個物體——它底子就不在此中——但我們可以抽象地想象此中的生物。

就像二維環面中的生物糊口在一個由無數個不異的矩形房間構成的二維方陣一樣，三維環面中的生物就像糊口在一個由無數個不異的立方體房間構成的三維方陣中。您會看到無數個您本身的復成品：

三維環面只是10個分歧的有限平展宿世界中的一個。也有無限的平展宿世界，如無限圓柱的三維近似物。在每個宿世界里，都有分歧的大廳鏡子的陣列供您體驗。

我們的宇宙是其他這些平展外形中的一種嗎？

當我們標的目的太空望去，我們看不到無數個我們本身的復成品。盡管如斯，要解除這些平展外形仍是半斤八兩堅苦的。起首，它們都具有與歐幾里得空間不異的局部幾何性質，是以任何局部測量都無法區分它們。

若是您確實看到了本身的復成品，那么那個遙遠的圖像就會顯示出您(或者您地點的星系)在遙遠曩昔的樣子，因為光線要顛末很長時候才能達到您那邊。也許我們看到的是我們本身無法識別的復成品。更糟糕的是，您的分歧的復成品凡是和您有分歧的距離，所以他們中的大大都看起來都紛歧樣。也許它們離我們太遠了，我們底子看不見。

為了降服這些堅苦，天文學家們凡是不是尋找我們自身的復成品，而是尋找我們所能看到的最遙遠事物的反復特征：大爆炸后不久遺留下來的宇宙微波布景輻射(CMB)。在實踐中，這意味著在CMB中尋找具有匹配模式的熱點和冷點的圓對，這表白它們現實上是從兩個分歧的偏向看到的統一個圓。

宇宙微波布景輻射。| 圖片來歷：NASA/WMAP(2010)

2015年，天文學家操縱普朗克太空千里鏡獲得的數據進行了這樣的研究。他們對數據進行了處置，尋找我們期望在平展三維環面或另一種稱為slab的平展三維外形中看到的相匹配的圓，但他們沒有找到。這意味著，若是我們確實糊口在一個環面上，它可能很是大，以至于任何反復的模式都在可不雅測的宇宙之外。

球面幾何

我們都熟悉二維球面——一個球的概況，或一個橘子的概況，或地球的概況。但我們的宇宙是一個三維球面意味著什么呢？

很難想象一個三維球面，可是經由過程一個簡單的類比可以很輕易地界說它。就像二維球面是所有到通俗三維空間中某個中間點的距離都相等的點的調集，三維球面是所有到四維空間中某個中間點的距離都相等的點的調集。

在三維球面上的糊口和在平展空間里的糊口感受很是分歧。為了感觸感染一下，想象您是一個糊口在二維球面上的二維生物。二維球面就是整個宇宙——您無法看到或進入四周的任何三維空間。在這個球面宇宙中，光沿著最短的可能路徑傳布：大圓。對您來說，這些大圓就像直線。

此刻想象一下，您和您的二維伴侶在海說神聊頂點閑逛，您的伴侶出去散步。當您的伴侶走后，一起頭他在您的視野里會越來越小，就像在我們泛泛的宿世界里一樣(盡管他們不會像我們習慣的那樣敏捷縮小)。這是因為跟著您的視野規模的擴大，您的伴侶所占的比例越來越小：

可是一旦您的伴侶越過赤道，奇異的工作就發生了：他們離您越遠，看起來就會越來越大。這是因為他們在您的視野規模內所占的比例在增添：

當您的伴侶離南頂點只有10步遠的時辰，他們看起來和離您10步遠的時辰一樣大：

當他達到南頂點時，您可以從任何偏向看到他，所以他填滿了您的整個視野：

若是南極沒有人，您看到的會變得加倍奇異：您會看到您本身。那是因為從您身上分開的光會繞著球面轉一圈，直到它回到您身上。

這可以直接推廣到三維球面中的生物。三維球面上的每個點都有一個相對的點，若是那邊有一個物體，我們看到的它就是整個布景，就仿佛它是天空一樣。若是那邊什么都沒有，我們就會把本身看成布景，就仿佛我們的表面覆在一個氣球上面，然后從里到外膨脹當作整個視野規模。

固然三維球面是球面幾何的根基模子，但它并不是獨一的這種空間。就像我們從歐幾里得空間中切出一塊并將其粘合在一路來締造分歧的平展空間一樣，我們也可以經由過程粘合三維球面中恰當的部門來締造球面空間。與環面一樣，每一個粘在一路的外形都有大廳鏡面結果，但在這些球面外形中，只有有限個房間可以穿越。

我們的宇宙是球面空間嗎？

即使是最自戀的人也不會把本身作為整個夜空的布景。可是就像平展環面一樣，我們沒有看到某種現象，并不料味著它不存在。球形宇宙的周長可能比可不雅測宇宙的周長還大，這使得布景離我們太遠而看不見。

但與環面分歧的是，球形宇宙可以只經由過程局部測量來探測。球面外形與無限歐幾里得空間的區別不僅在于它們的整體拓撲布局，還在于它們的邃密幾何布局。例如，因為球面幾何中的直線是大圓，所以三角形比歐幾里得的三角形更膨脹，內角和跨越180度：

事實上，測量宇宙中的三角形是宇宙學家查驗宇宙是否彎曲的根基方式。對于宇宙微波布景中的每一個冷點或熱點，它的直徑和它到地球的距離都是已知的，這可以形當作了一個三角形的三條邊。我們可以測量這些弧在夜空中的角度——即三角形的三個角之一。然后我們可以查抄邊長和角度的組合是否合適平展幾何、球面幾何或雙曲幾何(此中三角形的內角和小于180度)。

大大都這樣的測試，連同其他的曲率測量，表白宇宙要么是平展的，要么很是接近平展。然而，一個研究團隊比來提出（https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/），普朗克空間千里鏡2018年發布的某些數據指標的目的這是一個球形宇宙，盡管其他研究人員辯駁說，這一證據很可能是統計上的僥幸。

雙曲幾何

不像球面自己是標的目的內彎曲的，雙曲幾何是標的目的外張開的。它是軟帽子、珊瑚礁和馬鞍的幾何。雙曲幾何的根基模子是一個無限的空間，就像平展的歐幾里得空間。可是因為雙曲幾何比平面幾何標的目的外擴張的速度快得多，所以即使是二維雙曲平面也無法放置于通俗的歐幾里得空間中，除非我們愿意扭曲它的幾何特征。例如，這是一個被稱為龐加萊圓盤的雙曲平面的變形圖：

從我們的角度來看，鴻溝圓四周的三角形看起來比中間四周的三角形小得多，可是從雙曲幾何的角度來看，所有三角形的巨細都是一樣的。若是我們試圖使三角形的巨細不異，也許要用有彈性的材料來建造圓盤，從中間標的目的外讓每個三角形膨脹——我們的圓盤起頭像一頂軟帽子，從中間標的目的外會越來越彎曲。當我們接近鴻溝時，這種彎曲將會掉去節制。

從雙曲幾何的角度來看，鴻溝圓與任何內點的距離都是無限遠的，因為您必需穿過無限多個三角形才能達到那邊。雙曲平面標的目的四面八方無限延長，就像歐幾里得平面一樣。但就局部幾何而言，雙曲平面中的糊口與我們習慣的很是分歧。

在一般的歐幾里得幾何中，圓的周長與半徑當作正比，但在雙曲幾何中，圓的周長與半徑當作指數關系。我們可以看到，在雙曲圓盤鴻溝四周聚積的三角形數目呈指數增加。

因為這個特征，數學家們常說在雙曲空間中很輕易迷路。若是您的伴侶們在通俗的歐幾里得空間中離您而去，他們看起來會越來越小，但轉變很慢，因為您的視界并沒有增加得那么快。但在雙曲空間中，您的視界呈指數級增加，所以您的伴侶們很快就指數級縮小當作小點。若是您沒有跟上您伴侶們的步伐，您今后幾乎不成能再找到他們。

在雙曲幾何中，三角形的內角和小于180度，例如，鄙人圖中，三角形的內角和為165度：

這些三角形的邊看起來不是直線，但這是因為我們經由過程一個扭曲的鏡頭來不雅察雙曲幾何。對于棲身在龐加萊圓盤上的人來說，這些曲線就是直線，因為從 A 點到 B 點最快的體例是走這樣一條捷徑：

有一種很天然的方式可以建造一個三維的龐加萊圓盤模子——只需建造一個三維球體，然后用三維外形填充它，當它們接近鴻溝球面時，就會變小，就像龐加萊圓盤上的三角形一樣。就像平展幾何和球面幾何一樣，我們可以經由過程切割和粘合三維雙曲球體的恰當部門獲得其他三維雙曲空間的組合。

我們的宇宙是雙曲空間嗎？

雙曲幾何，連同狹小的三角形和指數增加的圓，似乎與我們糊口的四周空間的幾何不相符。事實上，正如我們已經看到的，到今朝為止，大大都宇宙測量似乎都傾標的目的于宇宙是平展的。

但我們不克不及解除我們糊口在一個球面宿世界或雙曲宿世界的可能性，因為這兩個宿世界在小規模看起來幾乎是平展的。例如，在球面幾何中，小三角形的內角和僅略大于180度，而在雙曲幾何中，小三角形的內角和僅略小于180度。

這就是為什么早期的人類認為地球是平的——在他們可以或許不雅察到的標準上，地球的曲率太小以至于無法探測。球面外形或雙曲外形越大，每個小塊就越平展，所以若是我們的宇宙是一個很是很是大的球面外形或雙曲外形，我們可以不雅察到的部門就會如斯接近平面，其曲率只能期盼將來的超緊密儀器來檢測。

本文經授權轉載自微信公家號“和樂數學”。本文譯自：quantamagazine，原題：What Is the Geometry of the Universe?來歷：https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/

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