Mathematica繪制函數圖像—隱函數圖像

熟悉幾何畫板的網友應該可以或許發現，幾何畫板幾乎不成能畫出隱函數的圖像。若是我們需要繪制某些隱函數的圖像，應該怎么辦呢？我標的目的大師保舉兩條目軟件：Desmos和Mathematica。

關于Desmos繪制隱函數的圖像，《怎么利用Desmos繪制函數圖形》里已經有了簡單的講述，感樂趣的網友可以去看看。

下面就講一下用Mathematica畫隱函數圖像的具體方法，并當令地對比一下Desmos的結果。

5怎么利用繪制函數圖形

東西/原料

電腦
Mathematica（8.0以上版本）
Desmos網頁版

例一：幾種未定名的曲線、曲面

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  有人可能要說，畫不出隱函數的圖像，你可以把隱函數方程化當作顯函數來畫呀！或者轉化當作參數方程的形式呀！就像橢圓的參數方程是：x=sint，y=cost，這不就把橢圓的方程的“隱函數”轉化為“參數方程”了嗎？
  對此，我只好難為他們一下了：
  請測驗考試著把x^y=y^x轉化為“非隱函數”的形式。
2
  隱函數的圖像，要用ContourPlot號令函數來實現。
  例如：繪制x^x+y^y=5/3的圖像。
  Mathematica代碼是：
ContourPlot[x^x + y^y == 5/3, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, ImageSize -> {500, 500}]
  注重格局：這里圖形巨細設心猿意馬為500×500像素；方程x^x + y^y == 5/3之間的等號必需是雙等號；x和y的畫圖規模都要寫出來。
  運行今后獲得的圖形是下面第一個圖。第二個圖是用Desmos畫出來的。
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其實，ContourPlot還可以繪制等高線圖。
ContourPlot[x^x + y^y, {x, -0.5, 2}, {y, -0.5, 2}]
ContourPlot[x^x + y^y, {x, -0.1, 0.7}, {y, -0.1, 0.7}]
發現，當x^x + y^y的值過年夜的時辰，圖形不是封鎖曲線。于是發生一個問題：要包管x^x + y^y=a的圖像是封鎖曲線，a的最年夜值和最小值別離是幾多？
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  繪制x^x + y^y + z^z ==2.3的三維圖形，要用到的號令函數是ContourPlot3D。具體的格局與ContourPlot近似，獨一的區別是，多了個變量z。
  代碼是：
ContourPlot3D[ x^x + y^y + z^z == 2.3, {x, 0, 1.1}, {y, 0, 1.1}, {z, 0, 1.1}]
  成果是一個封鎖的三維曲面。
  一個近似的問題：要包管x^x + y^y+z^z=a的圖像是封鎖曲面，a的最年夜值和最小值別離是幾多？

例二：非圓弧的等寬曲線

1
  有一條聞名的等寬曲線，它分歧于Reuleaux三角形之流。因為它不是靠很多圓弧拼當作的，而是處處滑膩，可以由一個隱函數方程（一個8元2次多項式）給出來。以前，我用Desmos畫出來了，那時只截了個圖，沒有貼代碼。因為方程式很長，所以，這里把代碼貼出來。
  Mathematica代碼：
ContourPlot[(x^2 + y^2)^4 - 45 (x^2 + y^2)^3 - 41283 (x^2 + y^2)^2 + 7950960 (x^2 + y^2) + 16 (x^2 - 3 y^2)^3 + 48 (x^2 + y^2) (x^2 - 3 y^2)^2 - 720^3 + (x^2 - 3 y^2) x (16 (x^2 + y^2) ^2 - 5544 (x^2 + y^2) + 266382) == 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
  Desmos代碼是：
0=\left(x^2+y^2\right)^4-45\left(x^2+y^2\right)^3-41283\left(x^2+y^2\right)^2+7950960\left(x^2+y^2\right)+16\left(x^2-3y^2\right)^3+48\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-3y^2\right)^2+x\left(x^2-3y^2\right)\left(16\left(x^2+y^2\right)^2-5544\left(x^2+y^2\right)+266382\right)-720^3
  對比成果如下：
2
等高線圖：
ContourPlot[(x^2 + y^2)^4 - 45 (x^2 + y^2)^3 - 41283 (x^2 + y^2)^2 + 7950960 (x^2 + y^2) + 16 (x^2 - 3 y^2)^3 + 48 (x^2 + y^2) (x^2 - 3 y^2)^2 - 720^3 + (x^2 - 3 y^2) x (16 (x^2 + y^2) ^2 - 5544 (x^2 + y^2) + 266382), {x, -10, 10}, {y, -10, 10}]
可以發現，今世碼里的式子變年夜，就不是等寬曲線了（變小時，不克不及必定）。于是有一個問題，怎么證實上面步調里的曲線是等寬曲線？我不會，留著慢慢解答。
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關于等寬曲線的其它內容，參考《等寬曲線的理解和機關》。
2等寬曲線的理解和機關

ContourPlot（3D）各類選項

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  去失落坐標軸，用Axes->False；
  去失落邊框，用Frame->False；
  ContourStyle 決議等高線的外形特征。
  例如：
ContourPlot[x^x + y^y == 5/3, {x, 0, 1}, {y, 0, 1},
ContourStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, Axes -> False,
Frame -> False, ImageSize -> {500, 500}]
  這是一條藍色的曲線，寬度為0.01。
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  PlotLabel 給圖形添加標簽，一般位于頂部；
  LabelStyle 決議標簽的外不雅特征。
  把上面的代碼加以點竄：
ContourPlot[x^x + y^y == 5/3, {x, 0, 1}, {y, 0, 1},
ContourStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, Axes -> False,
Frame -> False, PlotLabel -> Style[x^x + y^y == 5/3, 20],
LabelStyle -> Directive[Bold, Blue], ImageSize -> {500, 500}]
  于是，圖形上邊有了一個標簽。
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  Ticks 給出坐標軸的具體刻度值。用“非圓弧等寬曲線”為例，分“有坐標軸”和“沒有坐標軸”兩類。
  “有坐標軸”的代碼：
F[x_, y_] := (x^2 + y^2)^4 - 45 (x^2 + y^2)^3 - 41283 (x^2 + y^2)^2 + 7950960 (x^2 + y^2) + 16 (x^2 - 3 y^2)^3 + 48 (x^2 + y^2) (x^2 - 3 y^2)^2 - 720^3 + (x^2 - 3 y^2) x (16 (x^2 + y^2)^2 - 5544 (x^2 + y^2) + 266382);
ContourPlot[F[x, y] == 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, Axes -> True, Frame -> False, Ticks -> {{-10, 6, 8}, {0, 1, 6}}, PlotLabel -> F[x, y] == 0, AspectRatio -> Automatic]
  “沒有坐標軸”的代碼：
ContourPlot[F[x, y] == 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> {Blue, Thickness[0.01]}, Axes -> False, Frame -> False, PlotLabel -> F[x, y] == 0, AspectRatio -> Automatic]
  這里呈現一個問題：用Mathematica給圖形添加標簽，若是標簽出格長，如下圖那樣不克不及完整顯示，應該怎么辦？
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  用虛線作為等高線，ContourStyle->Dashed；
  等高線完全透明，ContourStyle->None。
  代碼兩個：
ContourPlot[F[x, y], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> Dashed]
  和
ContourPlot[F[x, y], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> None]
5
Contours 確定等高線的密集水平。
ContourPlot[F[x, y], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> Dashed, Contours -> 20]
和
ContourPlot[F[x, y], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, ContourStyle -> None, Contours -> 20]
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  繪制3D曲面的時辰，不想要網格線，可以Mesh->None；
  若是有網格線，那么MeshStyle確定網格線的模樣。
  代碼是
ContourPlot3D[ x^x + y^y + z^z == 2.3, {x, 0, 1.1}, {y, 0, 1.1}, {z, 0, 1.1},  Axes -> False, Mesh -> None, PlotLabel -> Style[怎么能把外框去失落, Red, 30], ColorFunction -> Function[{x, y, z}, Hue[x + y + z]]]
  和
ContourPlot3D[ x^x + y^y + z^z == 2.3, {x, 0, 1.1}, {y, 0, 1.1}, {z, 0, 1.1},  Axes -> False, PlotLabel -> Style[怎么能把外框去失落, Red, 30], MeshStyle -> Dashed, Mesh -> 5, ColorFunction -> Function[{x, y, z}, Hue[x + y + z]]

注重事項

提出幾個問題，留給樂趣相投的網友：
要包管x^x + y^y=a的圖像是封鎖曲線，a的最年夜值和最小值別離是幾多？
要包管x^x + y^y+z^z=a的圖像是封鎖曲面，a的最年夜值和最小值別離是幾多？
怎么證實(x^2 + y^2)^4 - 45 (x^2 + y^2)^3 - 41283 (x^2 + y^2)^2 +7950960 (x^2 + y^2) + 16 (x^2 - 3 y^2)^3 +48 (x^2 + y^2) (x^2 - 3 y^2)^2 - 720^3 + (x^2 - 3 y^2) x (16 (x^2 + y^2) ^2 - 5544 (x^2 + y^2) +266382) = 0的曲線是等寬曲線？
怎么把一個隱函數方程轉化為參數方程？
處處滑膩的等寬曲線，都有哪一些？
用Mathematica給圖形添加標簽，若是標簽出格長而不克不及完整顯示，應該怎么辦？
Mathematica圖形的標簽里面，能不克不及有“？問號”？