科學手藝范疇的重大問題大都離不開數學，尤其是現代數學的撐持。但如何的數學教育才能讓一流的數學家和工程師不竭涌現？在這篇文章中，作者認為，對于那些具有極高先天的中學生，在他們求知欲和精神興旺的中學時代，應該締造前提讓他們進修現代數學，進入更廣漠的數學宿世界，而非被應試教育束厄局促。

撰文 | 丁玖（南密西西比大學傳授）、葉寧軍（伊曼紐爾學院副傳授）

我們所處的時代是科技成長日新月異的時代。機械進修、大數據、人工智能等術語充溢報刊雜志，令通俗蒼生看得目炫狼籍。其實這股熱流中的一切，都與“數學”二字緊密親密相關。可以說，沒稀有學的威力，一切科技前進無從談起。這個事理早在十三宿世紀就被嘗試科學之祖羅吉爾·培根（Roger Bacon，1220-1292）所知，他精辟地指出：“所有科學都需要數學。”

例如說當今最熱的手藝短語“人工智能”，事實上這個范疇最底子的問題還懸而未決，需要數學的幫手。本年5月20日，筆者之一在第二屆江蘇成長大會的“紫金山論壇”上，聆聽了大數學家丘當作桐傳授的演講“數學和人工智能”。運用今世數學的微分流形理論，他提出了一個解決人工智能根基問題的方案，所用的東西中有菲爾茲獎獲得者維拉尼（Cédric Villani，1973-）所成長的“最優傳輸理論”。

由此可見，為科學手藝解決重大問題，非稀有學家的介入不成。華為的創始人和掌舵者任正非已經高傲地宣告，這個中國最了不得的科技公司雇傭了700多位數學家。本年第三期的《數學文化》雜志，登載了其本家兒編湯濤傳授撰寫的文章《華為5G與數學》，作者熱情謳歌了幫忙華為崛起而進獻輝煌的應用數學。

鄧小平早就提出“科學手藝是第平生產力”的聞名論斷。如上所說，科技的突飛大進需要數學的傾力撐持，但這里的“數學”還應加上一個形容詞“現代的”。這就是：現代數學在國度的科技成長中起著無可替代的領頭羊感化。是以，經由過程進步前輩的教育理念，讓一流的數學家以及用現代數學武裝到牙齒的一流工程師不竭涌現，是中國的科學家、工程師和教育家們必需正視的問題和使命。

現代化的教育，是實現科技強國方針的必由之路。可是，如何使十二年的初等教育、四年的大學本科教育，及更高條理的研究生教育最大限度地闡揚其功能，如何讓蕓蕓眾生中一小部門的資優青少年在常識營養的積極獲取和立異能力的不竭錘煉下“先富起來”，依然是擺在我們面前的重大課題。

在這篇文章里，我們想會商這樣一個問題：若何在我們的高中課程里，引入現代數學的點滴思惟和根基不雅念，讓部門先天異稟的中學生盡早地領會今世數學的一些前沿范疇，為早日當作為國度科技成長的棟梁之才邁出通標的目的當作才之路的第一步？

現代數學的“下放”

從小學到高中結業，一個正常的學生在進大學前，要學十二年的初等數學，這在某種意義上講是夠長的了。假如一小我進大學后一向讀到博士學位，即便念的是數學系，他在大學里獲得的近、現代數學的練習也不會跨越十年。幾千年前起頭慢慢完美的初等數學，與四百年前因為微積分的創立而起頭飛速成長的高檔數學比擬，僅僅是根基和根本的常識，也幾乎是眇乎小哉到“可以忽略不計”的外相工具。很多用初等數學的“笨方式”繁瑣求解的標題問題，如小學算術中的“雞兔同籠”或中學代數里的極值追求，放到高一等的數學課里的確是“小菜一碟”。是以，花太多的時候在初等數學的菜園里忙個不休，累得半死，對于先天極高的部門少年，其實是無用并且無趣的反復勞動。

筆者之一的少年履歷頗能申明問題。他的中學時代是在特別的歲月中渡過的，幾乎沒有正規地學過數理化，1973年頭高中結業后回抵家，感應本身的腦筋一無所有，求知欲終于噴薄而出，便標的目的怙恃的早期學生高允翔借來他1963年考上大學前用過的高中三年數理化全套教材猛啃，只花了三個月的時候，便啃完了這十八本書，腦筋里終于裝進了有效的數理化初等常識。那時他確實認為，這三年的教材完全可以在一年半內學完，并且可以學得很透辟。后來他在工場干了五年活，沒有再讀數學書，但1977年恢復高考時考上南京大學數學系，這本家兒要靠的就是那三個月自學而來的數理化常識。

這個故事申明，一部門高中生，完全可以在中學提前學完必修的初等科目，然后借助本身興旺的求知欲和充沛的精神，進而進修大學的有關課程甚至更高檔次的現代科學、人文常識，不華侈本身生成的好天資，不擔擱本身強烈的長進心。事實上，今朝在我們大大都的黌舍里，高先天的學生被無休止的初等數進修題藏匿，他們可能很是厭惡應試教育頻頻練習的題海戰術。然而，良多中學為了晉升高考的名校登科率而束厄局促這些學生的自立締造性進修，導致他們的先天之才難有機遇脫穎而出，只好和大大都通俗腦殼像《水滸》中的連環馬一樣被栓在一路，慢慢地同步朝前走。楊振寧師長教師早就不雅察到：中國的教育對一般學生有幫忙，但美國的教育卻極利于天才學生的當作長。當然，一般的黌舍是為通俗的學生創辦的，這一點中美兩都城一樣。可是美國的中小學很早就起頭挖掘人才，分層教育，區別看待，因材施教。到了高中，更是想方設法地喂飽、喂好那些既是絕頂伶俐又有鴻鵠之志的“人中鳳凰”。

好比說，當我國的高三年級不開任何新的課程而盡心盡力復習一年迎接高考時，美國的高四兩學期馬不斷蹄地為勤學生供給新課、難課、高檔課。在筆者之平生活的州，有個直屬州管的“數學與科學黌舍”，全校只有高三和高四兩個年級，每年在全州招收75名優異少年，經由過程面試登科，封鎖式住校進入高三。黌舍位于一所斑斕大學的校園內，教師遍及都有博士學位，州府供給的教育經費是其他高中的三倍。請看該校十年前一位高四華人學生的兩學期課程表。

第一學期：《大學英語I》、《遺傳學》、《大學統計I》、《有機化學》、《美國當局》、《高檔力學》、《經濟學》；

第二學期：《大學英語II》、《C++》、《大學統計II》、《微分方程》、《波與電》、《微積分III》、《現代物理》。

這些智商較高的學子高中結業后，大都進入很好的大學繼續深造，很多人日后當作長為各行各業的飽學之士。

即便在美國各地的通俗高中，也從不惜嗇地給勤學生供給浩繁大學根本課程。這些簡稱為AP（Advanced Placement）的課程從《微積分》到《大學英文寫作》，包羅萬象；需要什么，黌舍就開什么，除非師資不敷。頂尖大學的新生登科很是垂青的是修了幾多AP課程。一些能力不凡的學子高中四年時代，可以修完十門以上的這類課程，所以在高三、高四時就當作了“半個大學生”。這樣的實踐，讓伶俐勤學的孩子的念書潛能被充實挖掘，名牌大學也更輕易據此而發現那些可塑之才。

美國波士頓大學的數學傳授 Robert Devaney（1948-），一向強調將現代數學的思惟裝進高中、學院和大學本科的課程設計中，與初等數學和初等微積分的課程相連系，這是一個目光深遠的卓越設法。他專門為此而撰文，帶動有前提的黌舍“不時地將現代數學的思惟下放到大學生甚至高中生的課程中”。他是菲爾茲獎獲得者 Stephen Smale（1930-）傳授的博士，在 Smale 的浩繁門生中，他的數學教材寫得最多。同時，他身體力行地處處演講很多高中生也能聽得懂的現代數學——混沌與分形，極受接待，獲得過美國數學協會頒布的精采大學講授獎。他客歲70周歲時退休，但“退而不休”。迄今為止，他活著界各地已做了跨越1600場的數學演講。

Robert Devaney

Devaney 在文章《離散動力系統：讓學生對數學沉迷的路子》的摘要中這樣說道：“離散動力系統與分形幾何是今世數學最有趣的研究范疇中的兩個。一個來由是這些范疇里經常呈現的絕對標致的圖形。第二個來由是這些范疇里的很多論題所有人都能接管，包羅高中生。本文目標之一是描述這樣一個論題，即混沌游戲。當學生第一次碰著這個玩意時不僅半斤八兩沖動，并且看到用來理解混沌游戲的分形幾何如何和他們今朝正在幾何課中所學的工具直接相關。”

若是我們的初等教育理念仍是逗留在“一切為了高考”的獨木橋上，那么我們的一部門天資優異的中學生，固然也能考上大學甚至名校，但大學前為了高考死記硬背的疾苦履歷，以及不成避免受到的掉隊教育體例的不良影響，可能對他們的心靈甚至求知的立場留下永遠性的危險和沖擊，以至于可能會阻撓他們日后的成長。是以，在他們的求知欲接近平生顛峰的高中時代，我們該當締造前提，將他們引入現代數學思惟的涓涓溪流中去，給他們打開通往“數學天空”的門戶。讓魚兒早日隨溪流匯入浩瀚的大海，讓鳥兒早日從籠子飛到廣漠的天空。

現代數學若何“下放”？

然而，現代數學的學科叢林密布，樹大枝多，選什么為這些孩子開小灶？現代數學的說話艱深難明，概念抽象，能選出適合進步前輩高中生口胃的食材嗎？好比說，學完初等代數后是否頓時就可以進入近宿世代數？誠然，有會把高深的數學講得像揚州說書巨匠王少堂的《武松打虎》那樣出色的人人都聽得懂的教員，如“國度名師”顧沛和李尚志兩位傳授。極會教書的美籍華人數學家李天巖傳授對“如何講現代數學”也曾經夸下這樣的海口：“若是真懂數學，可以講得連高中生也能聽得懂！”然而，我們不克不及說隨機地拔取現代數學林立分支中的任一專題，就能胸有當作竹地踏進高中生的數學講堂；我們不僅要顧及高中生對深邃常識的接管能力，也要考慮高中數學教師腦筋中的現代常識布局。

現實上，半斤八兩部門的近、現代數學論題可以下放到部門高中同窗的講堂，或許可以在課程的名稱上加上“初等”二字，譬如《初等數論》、《初等抽象代數》及《初等線性代數》，就像已經下放到一些高中的《初等微積分》那樣，以免嚇跑那些對所謂“高檔的數學”望而卻步的中學生。

上海師范大學的一位數學傳授這些年來一口吻寫了三本書，別離為《從一元一次方程到伽羅瓦理論》、《從求解多項式方程到阿貝爾不成能性心猿意馬理》以及《從代數根基心猿意馬理到超越數》（由華東師范大學出書），它們取材于近宿世代數，但內容可以作為高中生讀本。

某些精心建造的課程，優異的高中生完全可以體會，甚至可以學得比大學生還好。筆者之一的師兄弟王筱沈傳授的女兒讀高中時，在她爸爸的系修了很多高檔數學課，此中一門拓撲學的教員對她的評價是：“她對數學概念的理解速度，可能比我拿過菲爾茲獎的博士導師還要快！”他的一位同事的兒子，高中時和數學系的研究生共修《近宿世代數》，班上很少人拿到成就A，他卻拿到了。正因為他很早就通曉了很多數學，高中結業前做了一項研究，發現了函數 y = ln |x| 的迭代周期軌道的模式，頒發在美國數學協會的期刊《高校數學雜志》上。他水到渠當作地進了麻省理工學院數學系念書，此刻加州大學伯克利校區念拓撲學的博士研究生。

筆者別離為《數學文化》雜志寫過科普文章，介紹過初等函數的迭代和初等幾何圖形的迭代。我們認為這些研究論題背后的現代數學思惟與中學生學到的代數和平面幾何聯系緊密親密，完全可以標的目的喜好摸索的高中生保舉，起到毗連近代與今世數學概念的橋梁感化。

“動力系統”是一個沙場廣漠的現代數學分支。任何與時候有關的學問都可以稱為動力系統。“時候”有持續推進或取心猿意馬一個時候單元后依次選擇與天然數相對應的離散時刻。前者稱之為“持續動力系統”，它常和微分方程聯系在一路，于是和初等數學之距離了一條微積分的大河。然而，后者所對應的“離散動力系統”在數學上等價于無限次迭代一個抽象函數，它把界說域映到自身內。函數的迭代盡管可以組成一門精湛的學問，它的根基思惟和方式卻與高中代數緊密親密相關。素質上，它研究函數無限迭代過程的最終行為，而函數則是初等代數講義里多次呈現的概念。

若是把注重力從代數移到幾何，“動力幾何”就是關于幾何圖形隨時候而轉變的動力系統。若是考慮的是像三角形或多邊形這樣的簡單平面圖形，則它天然又與歐幾里得幾何有關。初等幾何是中學數學中最主要的一門課程，它教會了學生如何邏輯推理，如何練習思維。可是中學所學的幾何可被算作是“靜態幾何”。現代數學的思惟落實到初等幾何上就催生了動力幾何這一學科，五十年前方才起頭鼓起的“分形幾何”這門今世數學分支與動力幾何有令人著迷的關系。是以，經由過程初等幾何標的目的動力幾何的進化，能力高強的高中生可以領略分形幾何中呈現的現代概念。

“迭代”某物是現代數學的根基做法：它呈現在計較數學里解非線性方程組的牛頓法中；它呈現在泛函闡發內巴拿赫壓縮映像心猿意馬理的證實中；它呈現在應用數學之學科數學規劃的算法中；它呈現在被普林斯頓高檔研究院戴森傳授稱為“數學文獻中不朽的珍品”的李-約克混沌心猿意馬理的論述中。總之，現代數學幾乎每一個分支中城市呈現“迭代”的身影。下面，我們經由過程引進兩個“樣本”現代數學論題，看看如何將它們連系到高中的課程中。

嫻靜與活躍的函數

中學代數處置的本家兒要對象之一是函數，好比多項式函數、有理函數、指數函數、對數函數等所謂的“初等函數”。在“三角函數”課程中大師也學了六個三角函數以及它們所對應的反三角函數。學完后學生對這些初等函數的界說域、值域、單調性、極值等性質，可以說達到洞若觀火的水平。好比說，底大于1的指數函數是嚴酷遞增的，底小于1的指數函數是嚴酷遞減的，如斯等等，紛歧而足。若是學了初等微積分，我們就會對初等函數的微分和積分的公式及其浩繁應用知道得更多了。

可是在中學的講義里，這些函數一旦進場，就像一個被封建倫理道德陶冶出的嫻靜姑娘一樣，在公共場所羞羞答答，不敢以多姿多態的現代形象吸引他人。舊時代司空見慣的坐在床邊羞答答姑娘的一舉一動，只有那些辜鴻銘（1857-1928）式的老派人物喜好。現代人追求的是活躍可愛的芳華氣息。讓函數動起來，就有了函數迭代以及迭代與函數表達式中帶有的參數之依靠關系的研究。

若是一個驕傲的高中生號稱他學會了指數函數的所有性質，那么嘗嘗問他這個問題：

取一個正數a，請問a, a的a次方, a的a的a次方, a的a的a的a次方, …… 這個所謂的“迭代指數列”最終會走標的目的哪里？

這個問題有趣嗎？我們凡是利用的高中代數講義、各地大量印刷的教輔書、鋪天蓋地呈現的課外教導班、不竭深切千家萬戶的的家庭教師等，問過這個問題沒有？

兩百多年前的大數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）問過！1778年，他第一次研究了該數列的收斂性問題，而與此問題相關的方程 x^y = y^x 求解問題則早其50年前，由比他大7歲的親密戰友丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）提出。伯努利給哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）的信中說：

“我解決了一個有趣的問題：找到不相等的數 x 和 y 使得 x^y = y^x 。該方程僅有一組整數解 x = 2 及 y = 4，但卻有無限多個有理數解。”

上述歐拉的“迭代指數列”只不外是以a為初始點，迭代以a為底的指數函數

f(x) = a^x

而獲得的迭代點數列。這里的底a，可被算作是指數函數簇 {a^x} 中的參數。

圖中曲線暗示函數 f(x) = e^(x/e)，x-y軸的對角線暗示函數 y = x。x* = e 是函數 f(x) = e^(x/e) 的惟一不動點。

若是將指數函數的底a從 e^(1/e) 變小一點，但仍是大于1，這時它的圖像就會持續變形到如下所示：

對于 1< a< e^(1/e)，函數 f(x) = a^x 有兩個不動點：左邊的不動點x* 和右邊的不動點y*。

原先底為 e^(1/e) 時圖像中的切點一會兒分當作兩個點來，它們是新的函數圖像與對角線的交點。也就是說，函數 f(x) = a^x 此刻有兩個不動點了：左邊的不動點x* 和右邊的不動點y*。我們由圖發現，曲線在接近左邊交點處看上去像膠東平原那樣比力平展，而在接近右邊那個交點四周卻像泰山那么陡峭了。這些幾何上的不雅察會指導我們得出關于從任何非不動點出發的迭代點軌道最終行為的結論嗎？

反過來，若是將指數函數的底 a 從 e^(1/e) 變大，幾何上就是把上面的第一個圖像標的目的上晉升一點，再加點變形，成果是切點消逝了，整條曲線與對角線老死不相往來，導致沒有了不動點。可是從任一數作為起點，迭代仍是可以繼續做的。問題是這時迭代點的軌道何去何從？

上面只對底大于1的指數函數的迭代闡發給出了提醒。當底a大于零但小于1時，指數函數 y = a^x 的圖像和對角線老是只有一個交點，即函數有且僅有一個不動點。從任一其他點出發的迭代點軌道會趨勢于它嗎？若是我們細心地研究這個問題，就會發現初等微分學加倍神奇的感化，它將把我們引入周期軌道的范圍，并再次領略“分支圖”的風光。這光陰研究指數函數自己可能就不敷了，還要研究它和自身的復合函數，其當底a等于0.1時，圖像為

圖中的曲線暗示當a等于0.1時，指數函數 f(x) = a^x 的復合函數 g(x) = f(f(x))。

當底遞減到一個奇異的小正數 e^-e 時，該條曲線持續變形到下面的外形：在曲線與對角線的交點 (1/e，1/e) 處，對角線也曲直線在該點的切線。此外，曲線在切點的左側是“標的目的上彎”的，而在右側是“標的目的下彎”的，所以這個切點是一個我們駕車在高速公路上經常碰到的“拐點”。它的存在決議了當底 a 變得比 e^-e 更小時，好比說 a = 0.03，函數 f(x) = a^x 和它本身的復合函數 g(x) = f(f(x)) 的圖像就像蛇扭解纜體一樣地扭曲當作如下有點像“S”的外形，于是與對角線的交點增添到3個。

圖中遞減的曲線暗示函數 f(x) = a^x，此中a=0.03。扭曲的S外形曲線暗示復合函數 g(x) = f(f(x))。

這樣指數函數 f(x) = a^x 除了不動點 x* 外，發生了一個周期為2的軌道

。如斯這般，我們就能想象和猜測其他點出發的軌道最終的走法若何。

解決了上述問題，對之前“歐拉迭代指數列”收斂與否問題的解答，只是一個推論罷了。研究這類具體帶參數函數迭代問題的過程，需要代數常識的暢通領悟貫通和精巧的微積分手藝，以及一顆長于思慮的頭顱。對其他有開導性的近似問題，其幾何直不雅性與闡發嚴密性相輔相當作，可以指導學生接收“離散動力系統”這門現代數學分支的根基思惟。若是會高高在上地應用初等代數與初等微分學的根基概念和精巧常識，就能進行深切而卓有當作效的切磋，而這對于出類拔萃的高中生，并非是可望而不成即的難事。須知，離散動力系統里的最有名心猿意馬理之一——“李-約克混沌心猿意馬理”，其證實中所用到的本家兒要東西僅僅是初等微積分中的“介值心猿意馬理”。我們對于天才學生的教育理念，必然要跳出“安分守紀”的鎖鏈，不拘一格地設計出別具一格的“提高班教材”。

可見，與“活躍”的函數“約會”要比與“嫻靜”的函數“廝守”好玩有趣多了！這就是現代數學“下放”后的一枚碩果。

靜態與動態的幾何

平面幾何可以說是中學階段最主要的一門數學課程。我們從中學會了如何由正義、公設、界說等數學概念出發，演繹出一多量關于三角形和圓等幾何對象的命題。平面幾何是中學生練習思維的大腦體操。若是沒有學會推理的本事，進了大學大要難以學通《數學闡發》這一每個心猿意馬理都需要嚴酷證實的數學系難課，更不要說更難的《實變函數論》了。

改變美國汗青歷程的偉大總統林肯當律師時，為了練習本身闡發案件邏輯推理的能力，精讀了歐幾里得的《幾何原本》。這個美國汗青上最后一個沒有大學文憑的總統，他數學推理的本領很可能比后來那些有博士學位的總統更強。

可是在我們中學所學的初等幾何中，給心猿意馬的幾何圖形是固心猿意馬的，故平面幾何也可被稱為“靜態幾何”。

宿世界是隨時候的轉變而處在不竭的活動之中，是以數學場地中的一大塊地皮就是要研究隨時候而轉變的模式、布局或數目。一切數學對象的轉變都可被視為時候的函數。若是限制在幾何對象的轉變，那么按照某種法例將一個幾何圖形釀成另一個同類圖形，而讓時候演進直至無限，探討這些圖形某些性質的最終性態，是動力系統的一門子學科動力幾何的使命。有能力的高中生進修了平面幾何后，可以進一步研究迭代三角形或多邊形，檢視它們的最終外形或其他方面的走標的目的，幫忙成立起現代數學中的新不雅念、新思維。

對上述兩個離散動力幾何的例子，平面幾何的四點共圓心猿意馬理和初等代數里的等比數列等內容，加上極限的概念，就能求出問題的解。可是這也給出一個契機，讓優異學生接觸到非負矩陣的 Perron-Frobenius 理論。這個以一百余年前的兩位德國數學家的名字定名的理論，一般卻不呈現在大學本科的《線性代數》教材中。在一些矩陣理論的大書里，如 Roger Horn 和 Charles Johnson 的名著 Matrix Analysis（《矩陣闡發》），往往也只放在最后的一章。非負矩陣是一類特別的矩陣，但用途要說多大就有多大。好比說谷歌的創始人Larry Page和Sergey Brin在二十年前引進了“谷歌矩陣”這個全宿世界最大的矩陣，它就長短負矩陣，即矩陣的每個元素都長短負數。他們運用Perron-Frobenius心猿意馬理，計較了“網頁排序”這個關頭的非負標的目的量。今天全宿世界的網平易近都是這個標的目的量的受益者。

非負矩陣的初等理論就能毫不吃力地回覆上述兩個關于三角形迭代序列的終結外形問題。可是這個理論對下一個更有趣、導標的目的現代數學分支“分形理論”的“垂足三角形”迭代問題，卻“一籌莫展”。

天然，歐幾里得幾何的常識依然有效，由此可以找到一個三角形和它對應的垂足三角形的三個內角和三條邊之間的關系。這些關系引出了垂足三角形迭代的很多有趣現象，包羅所對應的“垂足三角形映射”的周期性、混沌性和遍歷性。“靜態幾何 + 迭代”思惟真的可以導致很多令人斷魂的新發現！

動力幾何的這些看似簡單的問題，很多大數學家都切磋過，包羅一百年前劍橋大學數學傳授Ernest Hobson（1856-1933；他研究了垂足三角形）、愛爾蘭數學家John Synge （1897-1995；他是郭永懷、林家翹、錢偉長的碩士論文導師和后者的博士論文導師；他研究了垂足三角形映射的周期點問題）、美國哥倫比亞大學數學傳授Edward Kasner（1878-1955；谷歌的取名靈感來自他和侄子的聊天汗青）、第一屆菲爾茲獎獲得者Jesse Douglas （1897-1965）、樣條函數之父I. Schoenberg（1903-1990）、美國布朗大學應用數學傳授Phillip Davis（1923-2018）、柯朗數學科學研究所的阿貝爾獎得本家兒Peter Lax（1926-；他研究了垂足三角形映射的遍歷性質），以及中國科學手藝大學的常庚哲傳授（1936-2018）。它們和現代數學的分支動力系統及遍歷理論融為一體， 并導標的目的混沌與分形的新發現。例如，下面的基于垂足三角形迭代序列的標致圖形被它的機關者張新平易近傳授稱為“Sierpiński垂足三角形”，這是經典的分形“Sierpiński三角形”的天然推廣。

Sierpiński垂足三角形的“分數維數”取決于其外表三角形的內角。當外表三角形為等邊三角形時，對應的分形就是100年前的波蘭數學學派魁首Wac?aw Sierpiński (1882-1969) 機關的、現以他名字定名的“Sierpiński三角形”。Sierpiński三角形的分數維數是 ln 3/ln 2。那么，內角為x, y, π-x-y的外表三角形所對應的Sierpiński垂足三角形的分數維數又是什么呢？以初等微積分為刀兵，好奇心極強且又練習有素的高中生可以披甲上陣了。

總而言之，“如何把現代數學的一些思惟和理論下放到高中作為初等數學講授的彌補和提高”，是十分有實際意義的一項挑戰。對高中生中那些真正具稀有學腦筋的進修尖子，如何盡早地用現代數學的思惟武裝他們的大腦，讓他們盡快走標的目的今世數學的前沿陣地，以及如何讓部門優異的數學教師有能力幫忙他們當作長，很是值得摸索。今夏國度四部委專門發出的通知以及近日李克強總理在國度精采青年基金會議上的講話，都眾口一詞地說出了要把數學事業晉升到國度科技成長計謀地位的意標的目的。要實現科技強國的宏偉藍圖，當務之急是要給青少年中的一批好腦殼優渥的教育資本、壯大的師資步隊、進步前輩的教育手段、現代的數學思維，盡力讓他們敏捷起步，繼而起飛，遨游在廣漠無垠的數學蒼穹中。

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