用數學來理解：人數的優勢究竟在戰爭中占據什么樣的地位？

中國近代革命志士秋瑾曾經寫下這樣的詩句：“拼將十萬頭顱血，須把乾坤力挽回。”近似的還有陳毅元帥昔時的“此去泉臺招舊部，旗幟十萬斬閻羅”。文科生會說這抒發了激情，理科生會問：拼將十萬頭顱，就必然能把乾坤挽回么？——這里的“十萬”當然不是一個確數，但提出了一個有趣的問題——人數的優勢事實在戰爭中占有什么樣的地位？

我們丟棄一切汗青和時代的布景，來純真地想象一場陣地戰：假心猿意馬紅方與藍方（這里的紅方與藍方沒有特指，也無褒貶）都沒有飛機大炮，只利用同樣的步卒兵器，掩體堅忍水平等客不雅前提也差不多，且均在對方有用射程之內；紅方不存在百步穿楊的神槍手，藍方也沒有沒放過槍的新兵蛋子。總之一句話，就是兩邊半斤對八兩。獨一分歧的是兵員數目——紅方有5,000人，藍方4,000人，紅方比藍方整多出1,000人。兩邊開打了，槍林彈雨，如斯你來我往地掐將下去，誰也不降服佩服、不逃跑，最終成果會若何呢？因為紅方有“微弱”的數目優勢，藍方終將以被全殲而慘敗，這是比力合理的成果。我的問題是，此時“慘勝”的紅方還能剩下幾多人呢？對方既已全軍覆沒，損掉當然是4,000人，紅方是不是也必然支出了不異的價格呢？

1914年，英國有個叫做蘭切斯特（F. W. Lanchester）的，對近似的問題進行過研究。他本人其實是個汽車工程師，然而使他青史留名的當作就卻和汽車沒什么關系，而是蘭切斯特戰斗方程。

蘭切斯特的理論基于這樣一個假設：兩邊在任一剎時的戰斗損耗與對方此時的軍力當作正比。如甲方軍力為x，乙方軍力為y，有如下微分方程①：

dx/dt=-ay,

dy/dt=-bx.

t暗示時候；a、b均為比例常數，它們與兩邊的兵器效能及掩體等身分有關。簡練而美好的方程揭示了這樣一個紀律：交戰一方的有用戰斗力，正比于其戰斗單元數（戰斗單元，一般可以理解為參戰兵員數）的平方與每一戰斗單元平均戰斗力（可以理解為單元時候內覆滅對方兵員的能力）的乘積，即所謂蘭切斯特平方律（還有一個類型就是蘭切斯特線性律，它合用于遠距離戰斗，在此略過不提）。

如甲乙兩邊初始軍力為x0、y0，戰斗持續過程中肆意剎時的軍力由x（t）、y(t)暗示（為簡化計，假心猿意馬兩邊實力不異，即a = b，可將“每一戰斗單元平均戰斗力”略去），則很輕易推導出如劣等式②：

x02 – y02 = x(t)2 – y(t)2

也就是說，只要戰前有x0 > y0，戰局的必然成果就是乙方被全殲，即y最終變為0，甲方殘剩人數當然就是x = sqrt(x02-y02)（sqrt為取平方根）。

由此，蘭切斯特方程第一次以心猿意馬量的體例論證了“集中優勢軍力打殲滅戰”的準確性。蘭切斯特采用下述例子申明平方律合適集中優勢軍力的作戰原則：“若是甲方1,000人與乙方1,000人交戰，兩邊單個戰斗單元的平均戰斗力不異，但甲方被乙方朋分當作各500人的兩半。假心猿意馬乙方先以1,000人進犯甲方的500人，則乙方將以損掉134人的價格全殲甲方的一半；接著乙方以剩下的866人再全殲甲方的另一半，甲方在這兩次戰斗中將總共損掉293人。”——我們的毛本家兒席就是運用這一戰法的巨匠。

再回到起頭的假設：紅藍兩邊實力八兩半斤，即a = b；由等式②可以計較出，紅方在將藍方趕盡殺絕之后，還能剩下sqrt(5,0002-4,0002) = 3,000人，而不是1,000人，紅方的數目優勢導致其損掉遠低于藍方。而藍方要想把紅方放倒，就必需采用某種方式朋分紅方，以圖在局部取得數目優勢。

當然，現實環境要比簡化前提錯綜復雜得多，不談硬件若何，僅僅是無形的士氣就足以影響甚至決議戰局。可是，大量的事實證實，蘭切斯特方程具有很強的參考價值；尤其是一些局部戰斗的成果，更可能與之契合。假如一個黑幫老邁被別人搶了地皮，他末路羞當作怒，籌算和敵手在一個空曠的燒毀廠房或者倉庫（片子里都這么干）里一決輸贏。孫子曰：“夫未戰而廟算勝者，得算多也；未戰而廟算不堪者，得算少也”，所以火拼之前，不妨先拿蘭切斯特方程算一算。假如對方用槍榴彈你用半主動，兵器效能是你的整4倍（此時的比例常數a、b不再相等了）；按照蘭切斯特平方律，你帶曩昔的小嘍羅數目至少得對方的2倍，才可以抵消對方的火力優勢——也就是說，十萬頭顱是否夠用，得看兩邊的所有身分對比，不克不及只看人數。