小學數學到底應該學什么？

撮要：

1 小學數學科學的獨一焦點課題是天然數。

2 一個孩子的識數過程需要在數年時候中走完人類識數的漫長道路，這毫不可能是一個簡單輕易的使命。

3 扳著手指數數具有超越多對象處置本能的主要意義。

4 一個好的數學教育者應該知道，加法的原始意義是兩個有限集的無交并的勢。

5 一個好的數學教育者應該大白，天然數集就是知足皮亞諾正義的調集，并且應該理解天然數集的無限性，這是人對于無限的第一個科學熟悉。

6 數學教育應按數學成長史挨次進行，而不是按邏輯根本來進行。

撰文 | 姜樹生

小學數學應該學什么？這原本不是個問題，但近年來小學數學課程轉變半斤八兩大，增添了良多內容且都是必修的，乃至“減負”完全當作了官腔；而小學數學原有的一些內容被弱化。在此布景下，“小學數學應該學什么”當作了良多人會商和爭議的問題。

1 先打個預防針

關于這個問題，常見的定見很是多，預期本文也會受到良多辯駁。其實本文中的良多觀點并非像數學那樣嚴謹的科學事理，辯駁的定見可能更高超。但建議當真的讀者帶著批判的目光有選擇地看，至少下面幾種用不著看：

1）生搬教條的

在文獻中有良多涉及數學教育的不雅點，如“數學是研究數目關系和空間形式的科學”，“數學是對客不雅現象抽象歸納綜合而形當作的科學說話與東西”等等，這些不雅點固然不無事理但并不是嚴謹的科學定律。還有良多講授方式如“摸索性進修”、“項目式進修”、“螺旋式上升”等等，也是不無事理但尚在測驗考試。

但生搬教條者會把這些當當作“圣旨”，每條都比數學更準確。這些人都是“政治掛帥”的，要求數學教育從命這些理論的指導，為此可以把數學教程改得烏煙瘴氣，但他們毫不會認錯的。

建議您把“政治準確”留給他們，您只要數學準確就可以了。

2）采用無界說術語的

這些人環繞著一些沒有界說的術語會商不休，這樣的術語良多，如：

本質教育：對這個術語不僅沒有社會共識，也沒有權勢巨子的詮釋，甚至沒有官方界說。

高分低能：例如說有的學生考分高但不會換燈膽，但測驗沒有換燈膽這一項，若是加上這一項若何呢？

應試教育：是否有測驗的教育就是“應試教育”？這樣的會商經常導致打消測驗的本家兒張。

教育公允：我們只能說公平易近有平等的受教育的權力。但教育自己若何“公允”？有些人說這話的意思是“憑什么您能上海說神聊大清華我就不克不及？”

減負：學生承擔過重需要減輕，但需要先厘清什么是過重。若是象商家先漲價再打折那樣，先加重承擔再減輕一些有意義嗎？不是說笑話，這樣的例子良多。例如先把上課時候提早半小時然后再改為晚半小時，或者打消給學生打分改為貼小紅旗小紅花等等。良多教科書就是在“減負”的名義下越改越厚的（參看 [6]）。

奧數：這個詞來歷于國際數學奧林匹克（IMO），但此刻絕大大都人所說的“奧數”與 IMO 毫無關系，只是打著這個燈號搞培訓或競賽等，精確地應該稱為“偽奧數”。

數學有良多學科，即使在中學數學教程中也有代數、平面幾何、三角、立體幾何、解析幾多么多個學科，但沒有一個“奧數”學科。一個家長把孩子送入“奧數班”之前，至少應該看看“奧數”教程講的是什么，有什么學術依據和尺度，有什么意義和用處。可惜大大都這樣的家長很權要本家兒義。

對每個無界說術語，都是大家有大家的理解，各唱各的調，甚至當作了“界說之爭”。是以以這類無界說術語為題的會商都是純粹華侈時候。

3） “不假思考”的

這些人措辭良多很快但不走腦子，例如說“數學是死板的、深邃的、抽象的”，或者“數學是存在于天上的純粹理型”，或者“數只是人腦子里的工具”等等。良多說法是吠形吠聲。但若是深究，他們本身都不知道本身說的是什么意思。

4）妄議數學的

這些人對于數學的領會規模很窄也很膚淺，并且都是很早期的（最新也是二百多年前的），但他們張口杜口數學若何若何，這樣就把他們所不懂的數學全數槍斃了。

5）居心抬杠的

例如您剛說一句“數學是科學”，他立馬辯駁說“數學不是科學”，并且搬出不知哪里來的奇談怪論作為論據。其實他也未必相信本身的說法，只是為了顯示本身不同凡響罷了。但這樣的抬杠輕易蹭熱度、圈粉。

2 小學數學科學的獨一焦點課題：天然數

此刻講本文的本家兒要不雅點：小學數學，至少就數學科學而言，獨一必設的課題是天然數。

然而在小學數學課程尺度（參看 [11]）中所設的課題有四個方面：“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”。我們此刻來逐個細看。

1） “代數”是中學數學課程的內容，固然近年來有些中學代數下放到小學，但不克不及是以就說它是小學數學。況且全國數學教育成長頗不服衡，良多處所還不克不及把代數下放到小學。

2）關于圖形的科學，是從初中平面幾何起頭的。小學數學教程中對于圖形的熟悉，根基上是科普性的，不服凡的本家兒如果面積、體積的計較，現實上是作為數的一類應用題而設。

3）統計與概率，即使在中學教程中也只是科普性的，并且此刻中學數學教程中的概率并不比小學教程更深。

4）小學數學中有良多應用題，這一方面是理解天然數的主要路子，另一方面也是學會應用天然數的需要步調。不外“綜合與實踐”說得迷糊其辭。

有一點值得注重：在汗青上的任何一個期間，小學數學課程都不是很“專”的，即總有一些數學科學以外的內容，包羅科普方面的內容、手藝（早年是珠算，此刻有計較器的利用等）、懷抱衡、律例（如科學記數法）等等。

那么，課程尺度所講的四個方面，除了“代數”有點疑問外，也沒有什么錯啊？為什么單強調“天然數”呢？

請注重另一點：除了天然數外，其他的內容在分歧的汗青期間都是經常轉變的，甚至未來有些會過時。但天然數是不會有轉變更不會過時的。

另一方面，若是天然數沒學好，其他內容學得再好，小學數學也不克不及達標。

大白了這些，就知道在小學數學講授中永遠應該重點存眷“天然數”，這也是小學數學最難的部門，講授上需要花的功夫也最大。反過來說，永遠不該該以其他方面的內容沖擊天然數的講授，或壓縮天然數講授的課時。

3 進修天然數的過程、方針和難點

然而，良多人感覺天然數沒什么了不得，人人都識數。他們忘了本身昔時的識數過程有多艱難，更不大白良多人平生都沒有完當作識數過程。

數學是汗青最悠長的科學，而天然數是科學最早研究的對象。固然考據很堅苦，但至少歐幾里得時代的文獻表白，在公元前 500 年人類已經完全熟悉天然數了。現實上人類熟悉天然數的過程可能稀有萬年。而一個孩子的識數過程需要在數年時候中走完人類識數的漫長道路，這毫不可能是一個簡單輕易的使命。

我們下面將小學生的識數過程做一個粗拙的分化，由此就可以看到其艱難性。

第一步：數（sh?）十以內的數

幼兒起首學扳著手指數數，這是最早的數學嘗試。

良多人會說：“這算什么嘗試呀？”此刻當然有很切確的科學嘗試手段，但不該膚淺老的嘗試，因為科學是由此成長起來的。一百年前的生化嘗試，在今天看來很粗拙；今天通俗裝修隊配備的激光測距器，五十年前連尖端嘗試室里也沒有。而今天頂尖的嘗試手段，未來也會被超越。我們下面將談到良多小學數學嘗試，都是普遍利用而且很有用的。良多人嫌它們簡單粗拙，但此刻還很貧乏測驗考試發現更好的嘗試手段的人。

“必然要扳著手指數數嗎？桌上有 3 個蘋果，一眼就看出來了，哪用得著扳著手指數？”

是的，高檔動物有同時處置多個視覺對象的能力，不僅 3 個，多至 5 個甚至 6 個對象都可能“一眼就看出來”。但 10 個就太多了，并且扳著手指數是有挨次的。

這里涉及“天然數是什么”這樣一個根基問題。僅有“1”是不克不及當作為天然數的，至少還要有與 1 分歧的；僅有 1 和 2 也還不可，因為 1 和 2 可以代表少與多，低與高，甚至黑與白，有與無，對與錯，更一般的矛盾，總之可以表達一個比特的信息。

就是說，有信息的宿世界就有 1 和 2。但 3 就分歧了，超越了一個比特的信息。所以老子說“道生一，平生二，二生三，三生萬物”。對于前人和今天的幼兒，對 3 的理解是深且難的，起頭時可能將 3 理解為“良多”。中國的當作語和諺語中有良多“三”是“良多”的意思，如“三人當作虎”、“三人行必有我師”等，這種現象在其他平易近族的說話中也常見。

如上所說，即使很伶俐的大腦，對跨越 6 個的對象也缺乏直接處置的能力，那么處置“7”就經常是堅苦的使命了。是以良多平易近族的說話中有涉及 7 的諺語和故事，此中的“7”是“良多”的意思。

由此可見，扳著手指數數具有超越多對象處置本能的主要意義。

但對于數（sh?）十以內的數，扳著手指數數只是要學的使命之一，至少還有兩個別的的使命：理解這些數的物理意義和學會說話交流。

對于說話交流很大白：既要會數數，也要會說一、二、三、四等（在母語中）。當然還需要熟悉數字符號，但一般是在識字之后。

而對于理解數的物理意義這個使命，良多教育者缺乏足夠的熟悉，甚至將其忽略。

具體說，要讓孩子在數數時，知道所數的可能是桌上的蘋果，也可能是面前的孩子，等等。就是要從“3 個蘋果”、“3 個孩子”等等獲得“3”的概念。這并不輕易，需要顛末頻頻進修才能達到。教育者對此需要有足夠的耐煩。

一個有用的嘗試方式是操縱“一一對應”，例如讓 3 個孩子拿桌上的 3 個蘋果，每人拿一個，就看到一一對應了。

這第一步若是有所欠缺，今后就需要補上，并且這樣的欠缺可能導致質量差或效率低，不如先把第一步完全做好。

第二步：一百以內的數的熟悉

在這一步，扳手指嘗試顯然已經不敷了，需要一些嘗試東西（如小棒）。以往這被稱為“游戲”，但此刻良多人已經熟悉到這就是數學嘗試，盡管仍很粗拙。

“按挨次數”的習慣，在這一階段要進一步增強。但這還不敷，要理解這些較大的數的物理意義，需要初步進修加法。

桌上有兩堆蘋果，一堆有 5 個另一堆有 8 個，此刻把兩堆歸并，一共有幾多個？這就是加法問題。一個好的數學教育者應該知道，加法的原始意義是兩個有限集的無交并的勢（參看 [4]）。

有了加法的初步概念，對于較大的數如 58，就可以用分為 10 個一堆的 5 堆及 8 個的1堆。這樣也初步熟悉了十進制。

在這個階段還可以進修比力幾多，這也是對于挨次的更深刻理解。

一般說來，對于數字符號的熟悉也在這一步。

第三步：一百以上的數的熟悉

在這一步，進修十進制是必不成少的，而為此需要熟悉數字符號。

加法和巨細比力都需要深切，并且需要由巨細比力指導到減法。進修加法和減法都需要學豎式筆算。別的還要進修利用計較東西。早年利用的算盤，對于理解十進制和加減法都很有用，此刻即使不消，也需要有替代的教具。僅學會用計較器是不敷的。

在這一步，理解數的物理意義，越來越多地依靠應用題。

乘法也是在這個階段引進，有了乘法，就輕易理解較大的數。進修乘法更要學豎式筆算，并且要背九九表。

關于背九九表，近年來有良多爭議，例如說美國小學生是不背九九表的，還有效計較器也不需要背九九表。但背九九表可以對于數和乘法有更好的熟悉，有利于把握計較器等東西。

另一方面，只有在充實理解數和乘法的前提下，背九九表才稀有學教育意義。有的家長在孩子很小尚未理解數的物理意義時，就讓孩子背九九表（為了加入角逐或者顯示伶俐），其實和背“人之初性本善”一樣，只會背而不解其意。這樣的教育很可能危險孩子進修數學的前途（參看 [3]）。

第四步：熟悉整個天然數

只有熟悉了整個天然數集，才能說是熟悉天然數了。

華羅庚師長教師曾經這樣活潑地描述小孩子識數的過程（見 [2]）：

“小孩子識數，先學會數 1 個，2 個，3 個；過些時辰，可以或許數到 10 了；又過些時辰，會數到20，30，...，100 了，但后來，卻決不是這樣一段一段地增加，而是飛躍進步。到了某一個時辰，他貫通了，他會說：‘我什么數城市數了。’這一飛躍，竟從有限躍到了無限！”

只有顛末了這個飛躍，才真正能說是識數了。

但這個“大徹大悟”的過程，是只能由孩子本身完當作的。對于這個過程，華羅庚師長教師詮釋說：

如何會的？起首，他知道從頭數；其次，它知道一個一個按次序地數，并且不愁數了一個今后，下一個不會數。也就是他貫通了下一個數的表達體例，可以由上一個數來決議，于是，他也就會數任何一個數了。

教育者則只能指導，如上面所說，講了一百以內的數再講一千以內的數、一萬以內的數、一億以內的數，等等，慢慢擴展孩子的常識和想象力，直到孩子完當作這個“飛躍”。在完當作之前，教育者需要有足夠的耐煩。

華羅庚師長教師所說的“從頭數”、“一個一個按次序地數”、“不愁數了一個今后下一個不會數”，在數學中可以嚴謹地表達為“皮亞諾正義”。一個好的數學教育者應該大白，天然數集就是知足皮亞諾正義的調集（參看 [4]），并且應該理解天然數集的無限性，這是人對于無限的第一個科學熟悉。

第五步：對天然數的熟悉的加深

天然數長短常深邃的，即使數學家也還有良多不大白之處（精確地說，我們不知道的遠比知道的多）。僅僅會數數，即使對于小學生熟悉天然數也是很不敷的。是以，在上述識數的過程中和識數今后，還要有更深切的進修。

具體說，至少要進修這幾個方面：

1）帶余除法，這方面可參看[10]。2）質數（即素數）及質因數分化，這是數論的初步概念，學生由此可以看到天然數的復雜性和研究的難點。3）數的擴展，包羅分數、小數等。

今天仍是在中學數學中才講到的負數，其實有可能下放到小學。這方面的內容并不難，以往不克不及在小學講本家兒如果因為心理上難以接管（在古代甚至良多數學家也拒絕接管負數），但今天負數在糊口中已很常見，如溫度、海拔、科學記數法（負指數）、記賬將支出記為負的收入、角逐將掉分記為負的得分，等等。是以心理障礙應該小多了。

可能有人會問：既然數的規模擴展了，為什么還說天然數最主要呢？分數或有理數的規模更浩劫道不更主要嗎？

這里有個哲理性的問題：更大的規模是否就更主要？天然數可以或許擴充為有理數，是由其內涵的身分決議的（沒有天然數的內涵原因，即使人工地機關出負數和分數也不克不及知足運算法例，參看 [4]）。通俗地說，分數的性質都能由天然數的性質導出，但反之否則，例如對于一個整系數方程，即使能給出有理數解也未必能由此鑒定是否有整數解。在數論中對此的不雅點是“局部與整體的關系”，即有理數是對于整數的“局部化”，整體決議局部但局部未必能決議整體。

4）數的運算法例和巨細關系（包羅分數的巨細比力）。

這幾個方面各有難點，仍需要教育者的耐煩。此外，需要應用題更多并且更深。

由上述幾個必由步調，足以看到進修天然數是半斤八兩不簡單并且漫長的過程，并且經常需要教育者幫忙孩子降服難點。一個常見的問題是良多家長對此頗不耐心。

4 小學數學本質的達標要求

小平邦彥認為，在小學經由過程數的計較的頻頻操練來培育學生數學的根基學力是最根基的（參看 [1]）。筆者認為這很有事理。

為什么要頻頻操練呢？因為孩子一起頭總要犯錯，只有頻頻操練才能使錯誤逐漸削減。

那么少犯錯甚至不犯錯就是最終方針嗎？否則的。孩子不是進修機。在頻頻的犯錯-糾錯過程中，孩子會逐漸悟到一些深刻的事理，這對于孩子當作才很是主要。

一是大白數學（起首是天然數）的絕對真理性。在犯了良多錯被改正的過程中，孩子逐漸熟悉到，像 2+3=6 這樣的錯誤，永遠是本身的錯而不是數學的錯。由此成立對于數學的信念。

二是對于科學（起首是數學）的敬畏之心。犯了錯誤要勇于認可和更正，而不是抵賴。無論本身多伶俐，也不該該對數學耍“小伶俐”，例如用狡辯否定 1+1=2。若是和數學匹敵，更是必死無疑。

三是慢慢樹立嚴謹的科學立場。一絲不茍，不斷改進，是科學手藝工作所必需具備的根基本質。這種本質必需從小培育，不然未來就當作了廢人。而天然數的進修是培育嚴謹科學立場的一個根基路子。

那么，如何才叫小學數學本質達標了呢？

如前面所說，除了天然數外還有良多其他常識要學，當然這些都是達標所必需的。但最焦點的一點，是上面所說的“靠得住性”。最低限度，若是本身的錯誤被別人指出，可以或許立即大白并自行更正。若是本身也能發現和確認別人的錯誤，那程度就高了一個檔次。最高的是能嚴酷審閱本身的工作，找出所有的錯誤并更正，從而包管本身的工作有高度的靠得住性。這樣的孩子才是未來社會出格需要也出格有成長前途的。

這里似乎與良多人的不雅點相悖：社會成長靠立異呀！沒錯，但立異需要先打好根本。對于小學生，起首需要學會把最根基的工作做對做好。沒打好根本就“立異”，是“先天不足”。前面所說的“摸索性進修”、“項目式進修”等，并非沒有事理，但在沒有打好根本之前就搞這類立異性的進修，例如讓孩子本身“摸索勾股定理”，就如大躍進“放衛星”，其實都是造假忽悠，成果將是害了孩子。

可以或許立異的小學生不是沒有，可是少少。不該把適合少少數孩子的教育方式用于大大都孩子。

5 超越天然數

此刻來會商前面所說的“中學數學下放到小學”。如前面所說，這并非對所有小學生都合適。可是小學數學若何與中學數學跟尾，是一個對于一般的小學教育都值得研究的課題。

早年中學生的第一個數學堅苦是“用字母暗示數”，那時良多中學生剛起頭學甚至還沒學英語，這方面的堅苦是文科性的。此刻良多孩子小學就學英語，文科的堅苦小多了。但數學上的堅苦依舊，就是說對于用字母表達的數學的理解是一個坎。

我們來具體闡發一下初中生起首接觸的用字母表達的數學。最根基的有兩個方面：恒等式與方程。恒等式如a+b=b+a；方程如 3x+4=10。因為它們都還可以用“數”來詮釋，良多人沒有理解它們都已超出了“數”的規模。前者可以用說話論述為“兩個數相加，互換加數的次序，和不變”；后者可以用說話論述為“有一個數，它的 3 倍加 4 等于 10”。然而在邏輯上，它們都比數的運算升了一級。

具體說，恒等式 a+b=b+a 的完整論述是“對肆意兩個數 a,b 都有a+b=b+a”；而方程 3x+4=10 的完整論述是“有一個數 x 使得 3x+4=10”。這里關頭是有了謂詞“肆意”（即“一切”）或“有”（即“存在”）。我們知道謂詞演算是比命題演算高一級的邏輯運算。

不睬解謂詞，現實上并沒有真正大白恒等式與方程。這是初中代數的理解堅苦的根基原因。

但對于進一步進修數學，這一步是必需邁出的。初中平面幾何中的命題經常都有兩個謂詞，如“過兩點有一條直線”，完整的論述是“對平面中的肆意兩個點A,B,存在一條直線 ? 使得 A,B 都在 ? 上”。在微積分中的命題經常有三個謂詞，如數列極限

的完整論述是“對肆意正實數ε，存在一個正整數N，使得對肆意整數 n＞N 有

?”。在更深是數學如實變函數論或概率論中，還可以看到有四個甚至五個謂詞的命題。由此可見，若是連只含一個謂詞的語句都不睬解，是無法進修更深的數學的。

為了讓孩子們邁過這個坎，仍需要教育者有足夠的耐煩。

上面所說的從小學數學到中學數學的過渡，需要在小學期間就做籌辦，本家兒要就是對于恒等式和方程的籌辦。由上所述可見，這現實上已經超越了進修天然數的規模。

在這方面有良多講授經驗值得闡發和總結。下面講一些具體方式。

對于簡單的恒等式，可以先不消字母表述。例如上面的加法互換律，若是學生完全大白了，再理解 a+b=b+a 就只是從文字表述到用公式表述的轉換。

對于方程，則可以先多做應用題，例如買一樣工具已知單價 3 元付了 10 元找回 4 元，問買了幾件。

小學里的應用題有些較復雜也較難，并且有一些常見題型，如行程問題、工程問題等。良多應用題可以轉化為方程。這里舉人們經常會商且爭議頗多的“雞兔同籠”為例。

雞兔同籠原本是我國古代用于熬煉學生解題能力的問題，例如“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這里不問可知每只雞有兩條腿而每只兔有四條腿。

汗青上（甚至直到今天）這個習題一向不竭地受到進犯、貶低和奚落，罪名如“牽強附會”，“理論離開現實”，“為什么要把雞和兔子關在統一個籠子里”等等。在文化大革射中甚至被說當作是反革命的（參看例如片子《標的目的陽院的故事》）。其實農人把雞和兔裝到統一個籠子中拿到市場上去賣，是很泛泛的事（見照片）。

雞兔同籠題對于一般的小學生是很難的，能本身做出的孩子都很伶俐。如對于上面的標題問題，有的孩子說：“若是把雞的同黨也看成腿，那么無論雞兔都有 4 條腿，總共就會有 4×35=140 條腿，但題設只有 94 條腿，那么多出來的140-94=46 條腿應該都是同黨，這樣就知道共有 46÷2=23 只雞，從而兔有 35-23=12 只。”

那么大大都孩子做不出來又如何呢？無非是下列幾種景象：有的孩子做不出但很想知道謎底，就從此外路子追求謎底；有的孩子做不出就拋卻了，甚至今后就忘了；有的孩子由此感覺數學很有奇妙，雖做不出但提高了對于數學的樂趣。無論哪種景象都不是壞事。

那么，教育者是否需要給不會做的孩子講做法呢？這是愚蠢的，因為此題的一般解法對于數學教育并無意義。

即使在中國古代的數學著作（如《九章算術》）中也有良多可以轉化為方程的問題。例如對上面的雞兔同籠題，設雞有 x 只，兔有 y 只，則題設可以用方程表達為