數學大師布爾甘：在連續統迷宮奇幻探險

讓·布爾甘（Jean Bourgain）是這個時代最具獨創性、最多才多藝的闡發學巨匠之一，他1994年獲菲爾茲獎，2010年獲邵逸夫獎，2017年獲沖破獎。數學家陶哲軒曾經走到布爾甘在普林斯頓高檔研究院的辦公室門前，卻不敢敲門拜訪，他曾經說，本身的早期工作可歸納綜合為：“讀讓的論文，學會他的技巧，測驗考試做些改良。”

布爾甘于2018年12月22日歸天，他對整個數學學科做了凸起進獻。在第500篇論文頒發之際，布爾甘親自選心猿意馬了要展示的兩個當作果，此中一個即是這篇文章要介紹的離散化和積不等式，這是布爾甘在持續統迷宮中探險的當作果。在持續與離散的不竭切換中，我們大要可以體味到布爾甘曾經體驗到的、在數學中思惟自由飄動的樂趣。

撰文 | Alexander Gamburd

翻譯 | 唐璐

審校 | 趙宿世凡

人類心智有兩大迷宮：一個是持續統的機關，另一個是自由的素質，兩者來自統一泉源——無限。

——馮·萊布尼茨男爵

第二次宿世界大戰時代，馮·諾依曼在設計核兵器時，熟悉到闡發方式不足以完當作這項使命，處置持續介質力學方程的獨一方式是將它們離散化。......馮·諾依曼在戰后將精神都用在了這件工作上。

——彼得·拉克斯（Peter Lax）

序曲

布爾甘男爵，普林斯頓高檔研究院（IAS）數學院IBM馮·諾依曼講席傳授，是我們這個問題重重的時代最具獨創性、最靈敏、最多才多藝的闡發學巨匠之一，值得我們致以最高尚的敬意。

讓·布爾甘（Jean Bourgain，1954-2018）| 圖片來歷：Brigitte Lacombe/Breakthrough Prize 2017

他果斷不愿接管為慶賀他60歲生日召開會議的建議，不外大師仍是在他的第500篇論文頒發之際進行了一次聚會——2016年5月21-24日在普林斯頓高檔研究院召開了名為“闡發學及其影響：讓·布爾甘的當作就及其意義”的會議。會議陳述展示了布爾甘工作的深度和廣度，以及對整個學科的凸起進獻和深遠影響。布爾甘親自選心猿意馬了會議海報上展示的兩個當作果。閱讀安德烈·納哈莫德（Andrea Nahmod）2016年頒發在《美國數學會傳遞》上的出色論文可以較著感觸感染到第一個成果的美和力量。本文則是簡要闡釋第二個當作果——離散化和積不等式（discretized sum-product inequality）——的來歷、性質和成長。

讓·布爾甘選心猿意馬的兩個主要公式，下面的被稱為布爾甘離散化和積不等式，也是本文的本家兒題。

按照汗青挨次，數學的三大分支是幾何、代數和闡發。幾何本家兒要歸功于希臘文明，代數發源于印度-阿拉伯，闡發（或微積分）則是由牛頓和萊布尼茨開創，并在現代大放異彩。

——邁克爾·阿蒂亞爵士

（Sir Michael Atiyah）

《數學賞識：論數與形》（Von Zahlen und Figuren — On Numbers and Shapes）是一本廣受接待的數學科普書的名字，這個書名表現了一種遍及的觀點，即數學是代數和幾何的聯婚。托爾斯泰有句名言，“幸福的婚姻都是相似的，不幸的婚姻各有各的分歧，”盡管如斯，這個幸福的聯婚也并不是沒有矛盾（也許，幸福的婚姻也各有各的分歧，二分心智可能就屬于這樣的聯婚）。赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在1939年曾說過，“現現在，拓撲學天使和抽象代數魔鬼正在爭奪每個數學范疇的魂靈。”

這種矛盾表現在闡發函數發展的膏壤——實數系——的兩面性中，就仿佛古羅馬神話中兩面神的臉朝標的目的兩個分歧的偏向：一方面，它是對加乘運算封鎖的域；另一方面，它是持續的流形，各部門慎密相連，以至于無法彼此切確隔離。實數的一面是代數，另一面是幾何。連分數就是對持續統進行離散化的一種更素質的幾何形式；因為缺乏針對它們的適用加乘算法，從而催生了基于通俗（例如十進制）分數的離散化。

讓·布爾甘設計的徽章，2015年7月比利時當局授予了布爾甘男爵頭銜。

牛頓在發現微積分時，本家兒要的起點是“動力學”（力、加快度），失落落在他頭上的蘋果也表現了這一點；萊布尼茨則似乎對此刻被稱為大天然的分形幾何的工具更感樂趣。“想象一個圓；在圓里面畫三個彼此相切且半徑盡可能大的圓；在這此中每個圓中，以及它們之間的每個空地中，繼續畫圓，想象這個過程無限繼續下去。”萊布尼茨所說的四圓相切的機關也呈現在了布爾甘的男爵徽章上。萊布尼茨將直線界說為“曲線，其任何部門都與整體相似，而且這種性質不僅表現在曲線之間，也表現在調集之間”，這反映了持續統的分形特征：康托集*就合適萊布尼茨的界說。[1]

*康托集由不竭去失落線段的中心三分之一而得出，即起首從區間[0,1]中去失落中心的三分之一，然后在留下的線段[0,1/3] ∪ [2/3,1] 各去失落中心的三分之一，如斯直至無限。

古希臘幾何學家阿波羅尼烏斯（Apollonius）曾斷言，給心猿意馬3個彼此相切的圓，剛好會有兩個圓與它們都相切；給心猿意馬4個彼此相切的圓，則可以機關4個新的圓，使得每個圓與本來的此中3個圓相切。如斯反復直到無限，就可以獲得無限圓聚積（Infinite circle packing）。而若是最初給心猿意馬的4個圓的曲率為整數，那么所有的聚積圓都將具有整數曲率，從而形當作整數阿波羅尼烏斯聚積（Integral Apollonian packing）。這也是離散化和積不等式的一個應用 | 圖片來歷：Alexander Gamburd

從廣義上說，動力學可以被認為是對轉變的研究，轉變所處的根基（物理）布景是時候。康托集和持續統則與時候無關，即在時候中處于靜態，可是“從某種不雅察角度上”它們也存在一種（幾乎）“同樣根基的”轉變，即以改變放大比例和“縮放”的形式表示的轉變。布爾甘對離散化和積不等式的證實的“多標準”特征就表現了這一點。

在序曲竣事的時辰，趁便指出一下，布爾甘選擇的兩個當作果都不是等式，而是不等式，并作如下評論：

若是說代數凡是被認為是對等式的研究，則闡發的焦點也許可以認為是不等式或估量，是比力兩個量或式子的巨細。愛因斯坦發現沒有什么的速度能比光速更快，就是不等式的例子。不等式“2^X弘遠于X”可以說巧妙地涵蓋了P與NP問題*（對于有限的X來說是如斯）和康托持續統問題**（將X視為第一個無限基數）。中學就學過的一個初等不等式斷言，兩個正數的算術平均值毫不會小于它們的幾何平均值。在這兩個極值之間，有各類各樣主要的估量值。這些估量值表現和量化了底層問題的一些微妙方面，往往很難證實。后面我們將看到，對于離散化和積不等式，這種底層問題是持續統的代數性質和（分形）幾何性質之間的矛盾的焦點。分形（fractal）一詞源自拉丁語fractus，意思是破裂分化；代數（algebra）源自阿拉伯語al-jabr，意思是破裂的部門從頭連系。

*P與NP問題中的P是指可以或許用算法在多項式時候（Polynomial time）內解決的問題，NP則指那些無法快速解決，但若是供給了一個謎底，可以或許用算法在多項式時候內驗證的問題。P與NP問題問的是，P=NP是否當作立，即一個可以或許在多項式時候內驗證的問題是否也能在多項式時候內解決。

** 持續統假設由康托提出，是說在天然數基數與實數基數之間不存在其他基數，實數的基數嚴酷大于天然數的基數。

1 發源：掛谷-貝西科維奇問題（Kakeya-Besicovitch Problem）

希爾伯特有一句廣為人知的名言：“若是你能標的目的在街上碰到的第一小我詮釋清晰一個數學問題，這個問題就很好。”若是讓掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1917年，大戰正如火如荼，他在一個島國寫了一篇論文）來標的目的隨便一條街上的某小我詮釋這個此刻以他的名字定名的問題，可能會是這樣：

讓你負責防衛一個島嶼，島上有高卑陡峭的山岳，你的使命是以最低的財務支出在平展的山頂采辦一塊地盤，而且這塊地要具有以部屬性：讓一門長度為1的大炮能指標的目的任何偏向。

一個較著的解是，直徑為1、面積為π/4的圓。掛谷宗一給出了一個解，面積是這個較著解的一半。他提出的解是三尖內擺線，內切直徑為1/2的圓。同年，在彼爾姆（1940-1957年間更名為莫洛托夫；此刻仍是彼爾姆），十月、十一月間的俄國/蘇聯革命時代，貝西科維奇（A. S. Besicovitch）將面積上限削減到了幾乎為零。

固然平面（二維空間）中的掛谷集的測度為零，但它的分形維數為2。[2]有一個根基猜想是，在高維空間中，同樣的現象也當作立：例如，三維空間中包含指標的目的所有偏向的線的調集具有分形維數3。這個猜想是和諧闡發中很多問題的焦點，一向是我們這個時代一些最精采的闡發學家深切研究的本家兒題，布爾甘在1999年取得了重大沖破，他將掛谷問題與算術組合聯系起來（譯注：和積不等式在2004年布爾甘與Nets Katz、陶哲軒合著的研究掛谷問題的論文中給出）。

2 和積現象和持續統迷宮

算術組合中的一個根基成果是“和積現象（sum-product phenomenon）”，其根基性質可以簡單描述如下。當研究從1到9的數字的加法和乘法表時，人們可能會注重到乘法表中的數字更多。大致來說，這與從1到9的數字組成算術級數的事實有關。若是你將一個組成算術級數的調集（或它的子集）與其自身相加，它不會增加太多；若是你將一個組成幾何級數的調集（或它的子集）與其自身相乘，它也不會增加太多。然而，整數的子集不克不及既是算術級數又是幾何級數，所以它在與自身相乘或相加時城市增加。這可以暗示為命題|Α + Α | + |Α·Α| ≥ |Α|^1+τ對任何有窮實數集都當作立；此中|Α|懷抱調集的巨細，即調集中元素的數目。

布爾甘離散化和積不等式N (Α + Α, δ) + N (Α· Α, δ) > N (Α, δ)^1+τ處置的是持續統的無限子集，式頂用“測度熵（metric entropy）”N (Α, δ)懷抱調集的巨細，測度熵是籠蓋Α所需的直徑為δ的球的起碼數目。簡單說，這個不等式說的是，對于持續統的肆意子集，在暖和的假設前提下，當它與自身相乘或相加時，分形維數會隨之增加。

3 擴展本家兒題中的的離散和持續轉變

擴展圖（Expander）是計較機科學中普遍利用的高度連通稀少圖。高連通性對通信收集顯然很主要。而最輕易理解稀少性需要性的場景也許是大腦神經收集：因為軸突要占有必然的體積，是以軸突的總長度不成能跨越大腦的平均容積與軸突橫截面積之比。事實上，這就是睜開圖初次隱含呈現在巴爾茨丁（Y.M. Barzdin）和柯爾莫戈洛夫（A. N. Kolmogorov）1967年的論文中的布景。[3]

此刻，根基上有兩種構建數學布局的原材料來歷：隨機性和數論。隨機正則圖很早就被發現是擴展圖。最優擴展圖的顯式機關——拉馬努金圖（Ramanujan graph）——利用了自守形式理論中堅深的數論成果，將擴展圖機關為群的凱萊圖（Cayley graph）[4]，此中涉及一些很特別的生當作器選擇。

具有80個極點的富勒烯（C-80）及其立方圖（左）。在圖論中，正則圖是每個極點都具有不異數量鄰人的圖，即每個極點的度不異。而每個極點的度數均為3的正則圖被稱為立方圖。

擴展圖是高度連通的稀少圖，它一方面具有高度連通的特征，另一方面又是稀少的。擴展圖的拓展系數反映了其連通性，例如圖中暗影部門的子集的擴展系數為1/4。

凱萊圖是編碼群的抽象布局的圖。一個群相對于一個固心猿意馬生當作器的凱萊圖，其極點是群的元素，而一個元素的鄰人是經由過程與所有生當作器相乘來確定的。| 圖片來歷：Alexander Gamburd

當我1994年剛起頭攻讀博士學位時呈現的一個根基問題是，這種擴展在多大水平上只是群自己的屬性，與生當作器的選擇無關。我對這個問題著了迷，在彼得·薩納克的指導下，我在1999年的博士論文中取得了部門進展。2005年秋，我與布爾甘合作引入了一些剛成長出來的與和積現象有關的加性組合學東西（譯注：布爾甘和積不等式），最終針對很多景象解決了這個問題。

從頭至尾奏

標的目的對互聯網已習覺得常的人們詮釋布爾甘的當作就顯著和不凡的意義時，我們可以強調它們在數學物理、計較機科學和暗碼學中的應用，這些在現代糊口中有龐大的適用價值，尤其是使得互聯網通信當作為可能。它們的精妙、斑斕和艱深似乎很難用“泛泛的說話”來表達。此時此刻，也許我們該當提醒本身，收集新人類固然裝備了（源自馮·諾依曼的）各類數字設備，但也仍是人類，仍然沉迷于用Twitter表達簡練而艱深的洞見：面臨著似乎虛幻、不真實的對象（例如實數軸），布爾甘在持續統迷宮的奇幻探險代表了人類心智偉大卓越的當作就。

2005年9月，我女兒方才出生六個月，我在IAS拜候并介入亞歷克斯·盧博茨基（Alex Lubotzky）本家兒導的“李群、暗示和離散數學”項目[5]時碰到了讓。我不記得切當的日期，但記得時候：那時是凌晨2點至3點之間。在給女兒換尿片后，我睡不著，前去西蒙尼會堂，碰到了正去藏書樓的讓。在模模糊糊的狀況下，我壯起膽量和他搭話。到天亮時，這個困擾我長達十年的問題終于在讓的辦公室里風聲鶴唳。[6]

從左到右：亞歷山大·甘博德（Alexander Gamburd）、彼得·薩納克（Peter Sarnak）和讓·布爾甘（Jean Bourgain）

2005-06年是我生射中最歡愉的一年，這一年我往返于以赫爾曼·外爾定名的小徑，外爾的不雅點是，“數學不是門外漢所認為的嚴酷和無趣的公式；相反，我們在數學中恰好站在反映人類自身素質的局限和自由的鴻溝上。”

本文中描述的布爾甘的大部門工作是在IAS完當作的。IAS的徽章是一幅恬靜、優雅和古典的裝飾藝術作品，描畫了兩位優雅的年青密斯，一位著衣，一位裸身，站在一棵結了良多果實的樹旁。徽章設計的典故出于濟慈（John Keats）的《希臘古甕頌》中最后那個聞名的對句（譯注：真便是美，美便是真），他的不雅點是，“每種藝術的卓越之處在于其強烈性，可以或許使所有的令人不悅從與美和真的緊密親密聯系關系中消逝。”

IAS徽章

在這篇文章中，我測驗考試捕獲布爾甘藝術的卓越之處，最后讓我們經由過程引用他在獲得2017年數學科學沖破獎（Breakthrough Prize in Mathematical Sciences）時的談話來體味一下他強烈的感情：

當你碰到一個被遍及認為無法解決的問題時，凡是你甚至都不知道要到哪里去尋找謎底。處于那種景況下，我們就像傅立葉一樣被困在戈壁中，完全迷掉了偏向。而一旦你洞悉本相，你就會在俄然間逃離戈壁，一切都揭示在你面前。這時我們會感應很是興奮。這是最好的時刻。之前費盡心思卻毫無進展的所有疾苦都是值得的。

作者介紹

亞歷山大·甘博德（Alexander Gamburd），IAS數學院當作員（2007-08，2005-06），紐約城市大學首席數學傳授。

注釋

[1] 萊布尼茨還寫了第一本組合學教科書《組合的藝術》（Dissertatio de arte combinatoria），并發現了二進制記數法，這使得現代計較機當作為可能，并將在布爾甘摸索迷宮的論證中闡揚主要感化。萊布尼茨的第一個作品集在1735年由Rudolf Erich Raspe編纂出書，這位作者后來以《孟喬森男爵的奇幻探險》（Singular Adventures of Baron Munchausen）著名。

[2] 若是A曲直線，很輕易看出N(A, δ)是δ-1階。若是A曲直面，則N(A, δ)近似為δ-2階。這就開導了將肆意調集的分形維數界說為N(A, δ) ~ δ-d中的數字d的設法。

[3] A. N. Kolmogorov & Y. M. Barzdin, On the realization of networks in three-dimensional space, Selected Works of Kolmogorov, vol. 3, Kluwer, Dordrecht, 1993, 194–202[3] PSL2(Fp)在p = 5時與尺度生當作器相對應的凱萊圖是巴克球（C60）。

[4] https://mathinstitutes.org/highlights/expander-graphs

[5] 布爾甘的日常習慣如下。他會在離餐廳關門不到5分鐘的時辰趕到餐廳吃午餐，鄙人樓時會找人一路用餐（具體找誰本家兒要取決于他們與讓今朝正在研究的問題的專業相關性）。午餐后，日落前，他辦公室的門是半開的。晚上9點擺布，讓會帶一瓶紅酒（凡是是梅多克）去吃晚餐，之后再來一杯雙倍特濃咖啡（凡是是在小宿世界咖啡館），然后回到辦公室，給老婆和兒子打德律風，然后快步走一走，繞著愛因斯坦大道走5圈擺布。午夜和日出之間，他的辦公室凡是都關著門。他手寫的筆記（氣概像莫扎特，不像貝多芬）根基不消改，部門原因是在用餐和散步時，他會想好回到辦公室后寫些什么。