為了玩好音樂徒手開12次方根，古人的音律、數學強到什么地步？

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1990年，黃霑受邀為徐克的片子《笑傲江湖》譜曲，前前后后寫了6稿徐克都不對勁。“走投無路”的黃霑從古樂中獲得靈感，用中國傳統五聲音階宮、商、角、徵（zhǐ）、羽寫出《滄海一聲笑》的根本旋律。

徐克一聽擊節稱賞，一首經典“神曲”就此被傳布開來。然而中國古音的汗青與當作就可不止“宮商角徵羽”這么簡單，細算起來，就算是影響了整個西方古典音樂史的巴赫也曾深受中國傳統樂律的開導。

●《笑傲江湖》經典片段

樂律，是數學與藝術慎密連系的產品。不管是古代樂律的五聲音階，仍是現代通用的十二平均律，無一不是顛末詳盡數學計較的產品。而中國在樂律成長史上的步步領先，也表現了我們平易近族在數理上的過人之處。

中國古代樂律的發源，要追溯到一位人盡皆知的汗青人物——春秋期間的管仲。

●被譽為“華夏第一相”的管仲

古籍《管子·地員篇》中記錄了宿世界音樂史上最早的一種求律方式，史稱“三分損益法”。原文是這樣寫的：

凡將起五音凡首，先本家兒一而三之，四開以合九九，所以黃鐘小素之首，以在宮；三分而益之以一，以百有八，為徵；不無有三分而去其乘，適足所以生商；有三分而復于其所，所以當作羽；有三分而去其乘，所以當作角。

翻譯過來的大意就是：想要求出五音，起首應該找出一個尺度音，即“黃鐘”，也就是“宮”音。這個音被“三分四開以合九九”，那可以假定其對應的弦長比數為81。

接著將宮音的長度增添三分之一，算出低四度的“徵”音，那么“徵”就是81+81/3=108；再將徵音的長度減去三分之一，可得出徵的高五度音“商”，為108/3*2=72；把商音的長度增添三分之一，可得它的低四度音“羽”，為72+72/3=96；最后把羽音減去三分之一，可得弦長比數為64的“角”音。

● 由三分損益法得出的五音

這種五聲音階法在中國古代音樂中被稱為“正聲”，是古今中國平易近間音樂最為常見的音階形式。事實上，由此推算出來的“宮商角徵羽”對應現代樂律就是“do、re、mi、sol、la”。

大師會發現“fa”跟“si”這兩個現代樂律不見了，但其實按照管仲的“三分損益法”，完全可以繼續計較細分下去。加上“fa、si”的七聲音階甚至是十二律都可以用這個方式往下演算出來。

而本家兒要的問題在于，這個公式算出來的五聲音階盡管悅耳悅耳，可是相鄰音階之間的頻率之比倒是不固定的。按照上面宮商角徵羽的數值比例計較，大部門音階之比是1.125，而中心總會有一個比是1.185輪回……

所以“三分損益法”可以求出“十二律”，在《呂氏春秋·樂律》篇中也確實記錄了從“黃鐘”、“大呂”到“無射”、“應鐘”的完整十二律，但這倒是不服均的十二律。

●《呂氏春秋·樂律》中記錄的古音十二律

這種十二律會呈現“仲呂極不生”、“黃鐘不克不及還原”的現象，表露出十二律不克不及回歸本律及無法旋宮轉調的問題。是的，早在上千年前，我們的前人就已經不知足于一個調子到底的音樂。

想要轉調，就必需解決十二律不服均的數學難題。

我們把目光轉到西方，西方音樂在我們的印象中似乎十分發財。貝多芬、莫扎特、巴赫……無數音樂偉人組成了一個復雜的西方古典音樂系統，那么他們是若何解決這個難題的呢？

●巴赫肖像

他們有抄我們明朝人功課的極大嫌疑……

事實上，西方音樂宿世界因為前期成長較慢，直到管仲歸天近150年后才碰到這個難題。由古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯提出的樂律“五度相生法”與管仲的“三分損益法”有著驚人的相似度。

而五度相生法締造出來的西方五聲音階，面對著與中國古代樂律一樣的“不服均”問題。在中國，先后有漢代京房六十律、五代劉燀十二等差律、宋代蔡元定三分損益十八律等等測驗考試呈現，南海說神聊朝期間甚至呈現過三百六十律這種“大數據”。

然而這些樂律要不就仍是不克不及當作等比例，要不就是強行等比而忽略了樂律的悅耳韻律。直到公元1587年明代朱載堉“新法密率”的問宿世，才完美解決了這個猜疑了工具方音樂家、數學家近兩千年的汗青難題。

簡單來講，朱載堉就是將一個八度等分當作了十二份來求這“十二平均律”。那么從第一份到第十二份，則必需是兩倍（一個八度）的關系。假定第一個樂律為X，那么它必需被某個固定命值乘12次之后釀成最終的2X。

●朱載堉著《樂律全書》

這個固定命值以此刻的數學說話看來是12次根號2，對于現代人來說，不外是按幾下計較機的問題。但在明朝的朱載堉手中，就是“徒手開十二次根號”的數學難題。

為此，朱載堉特制了一個多達81位的巨型算盤，靠人力硬生生把它給解出來了。解出來后，朱載堉不僅建造出了宿世界上第一架定音樂器，還將本身的研究當作果呈進朝廷。

●朱載堉令人頭禿的計較成果

55年后，法國的數學家馬林·默森（Marin Mersenne）也在本身的著作中寫出了與朱載堉一模一樣的等程律數學表達式。作曲家巴赫平生極推崇平均律的作曲運用，直接影響了后宿世無數音樂家。

而在那個布道士頻仍往來于中西方的年間，各類手藝是其通信的本家兒要內容。是否是朱載堉在中國不受正視的十二平均律經由布道士之手達到西方宿世界，我們已經不得而知。

經由一代代數學家與音樂家的接力共同，才有現代林林總總樂律模式開花齊放的場合排場。而十二平均律始終占有本家兒流的凸起地位，更表現了人類對于韻律藝術與均衡紀律這種奧妙連系的偏心之情。

至于數理與樂律這兩對讓人難以捉摸的雙生子，我們還遠未窮盡對它們的摸索。

參考文獻：

Bilibili視頻網：李永樂教員講樂律

山東師范大學《論管子三分損益法》文/羅天全

協商論壇《朱載堉：“平民王子”的科研、樂律路》文/ 趙慎珠

福建師范大學文學院《河圖洛書：朱載堉十二平均律的理論原點》文/黃黎星

內容為『手望Sowarm』出品

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