光子真是簡單的無質量粒子嗎？

在近代物理文獻中，光子經常作為無質量粒子被說起。然而，光子同有質量粒子行為上有素質上的分歧，從有質量粒子的物理學簡單地令m=0 不成能獲得任何光子物理。光 (子) 的能量-動量色散關系，速度之參照框架 (非) 依靠 (性) ，自旋與自旋投影等根基物理性質都完全分歧于有質量粒子。光子與有質量粒子的玻色-愛因斯坦統計上的不同也不是粒子質量有無的問題。光子概念來自基于嘗試成果提出的光場之能量量子，光場量子化同有質量粒子能量的量子化采用了完全分歧的方案。光場量子化是對分歧光場模式直接引入發生和湮滅算符，分歧模式的光場之間沒有感化，談論光子的位置沒有意義，則光子的計數性—其與心猿意馬域性有關—也就當作了問題。嚴酷考查關于光(子)性質的描述及其背后的物理圖像，可作為進一步深切理解光 (子) 之賦性的起頭。

撰文 | 汪克林（中國科學手藝大學根本物理中間理論物理傳授、近代物理系傳授(退休))、曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

1、引子

光子這個概念源于1900年普朗克擬合黑體輻射譜引入的假設Uν(ν為下標)/hν為整數，后來1905年愛因斯坦在詮釋光電效應的嘗試成果時進一步假設固體接收光也是按照以能量量子 E=hν為單元的體例進行的，1923年康普頓為詮釋X-射線的電子散射嘗試又引入了光具有動量量子 p=hν/c的假設，這最終導致了化學家劉易斯 (Gilbert N. Lewis) 于1926年引入了光子 (photon) 一詞[1]。光子的概念沿用至今，而且在此過程中天然地形當作了所謂光子是無質量粒子的說法，很多人對此也深信不疑。然而，我們稍加留心，就會發現這種說法大有值得商榷之處。光子在引入之初，是別離被付與能量量子 E=hν 和動量量子 p=hν/c 的。如斯付與動量量子的來由來自光能量量子的表達式 E=hν 以及經典理論中光場的動量的概念 p=E/c ，也就是光場的能量-動量關系 (色散關系) E=pc 。這個能量-動量關系被光子直接擔當了。在狹義相對論中，洛倫茲不變性要求有質量粒子的能量-動量關系為

E^2=p^2c^2+m^2c^4 (1)

若令 m=0 ，則從式(1)可獲得 E=pc，這大要是所謂光子是無質量粒子說法的啟事。然而，必需指出，所謂光子的動量 p=hν/c，在康普頓用來解決X-射線電子散射問題時就是經典動量，而在粒子的能量-動量關系式(1)中的p現實上是粒子動量4-矢量P=(p; E/c) 的前三個分量，它和粒子的經典動量 p=mν 差一個因子

，不成混為一談！最主要的，在當今關于粒子的尺度模子里，光子是來自局域U(1)規范對稱性的、自旋為1的規范玻色子，它沒有質量或者電荷 (without mass and without charge) 。注重，它不是質量為零、電荷為零，是沒有質量、也沒有電荷這些標簽。光子有自旋標簽。

作者基于近年來關于根本物理的思慮，認為有需要當真檢討一下我們關于光子的一些熟悉是否反映了真實的物理內容，近代物理是否能為光子供給加倍切確和嚴謹的圖像。量子力學和相對論在成長期間其本家兒角一向是電子和光 (子) ，然而，對量子力學和相對論的細心體味會指導我們去思慮電子與光子素質上的區別。好比，光子，切當地說是光場的量子，其與有質量的物質粒子之間的不同僅僅是有限質量和質量為零的不同嗎？光子和電子一樣有位置算符嗎？再者，一般相對論文獻中漫談到光速不變，意思是光速在任何參照框架中都是一樣的。我們也可以問一個同光子是否簡單地是無質量粒子近似的問題，光速是在分歧參照框架內不變仍是光速是一個沒有參照框架 (referring to nothing) 的物理量[2]？這之間的分歧會導致對根本物理的分歧熟悉。就后續的量子光學嘗試來說，光子的可計數性以及嘗試上的具體實現也不曾成立起堅實的概念根本。這些都是本文要會商的內容。

2、經典物理中的物質粒子與光場

在經典物理中，物質粒子與光場有著完全分歧的物理內在。為了更清晰地輿解此處關切的問題，不妨先回首一下經典物理框架下的相關描述。有質量的物質粒子具有有限體積和有限質量。當有限體積效應可以忽略時，可引入點粒子的概念，系統的質量以及電荷等稱為荷的內容集中于一個幾何點上。粒子的所有物理量亦心猿意馬域在該點上。點粒子的活動由動力學方程，即牛頓第二心猿意馬律，

F=ma， (2)

描述。反不雅光場，其是由麥克斯韋方程組描述的。與物質分歧，光場不具有存在于有限體積內進而可抱負化為幾何點這一根基特點。電場和磁場是場，要點在于其是空間中的分布，將來引入電磁勢4-矢量的概念還會帶來規范場論，其與物質粒子的區別就更較著了。真空中電磁場的動力學由麥克斯韋方程組描述，

進一步地，引入洛倫茲 (Ludvig Lorenz) 規范，可導出真空中電磁場知足的波動方程

光是電磁波，以及光速具有不變性，時空知足洛倫茲 (Hendrik Antoon Lorentz) 變換，等等，都與方程(4)有關。

3、電磁場及有質量粒子的量子力學

或許我們可以覺得，從經典物理過渡到量子理論框架，物質粒子和光場量子化得來的光子都具有波粒二象性。這種設法過于想當然了。為了說清晰問題，讓我們先回首關于有質量粒子 (能量) 的和關于電磁場的量子化方案。

在經典物理中，粒子有兩個根基力學量，位置和動量。在正則量子化方案中，記住從玻爾 (1913) 到薛心猿意馬諤 (1926) 的量子化盡力針對的都是電子能量的分立性問題，位置和動量被當當作了算符，量子化前提即為它們之間的對易關系

上述的光場量子化方案的一個主要的結論是, 如T. D. Newton和E.P. Wigner曾指出的那樣，光子不存在心猿意馬域性[5]。切當地說, 光子不具有位置表象的波函數。J. E. Sipe曾提出了一個光子波函數[6]，不外他出格強調，他提出的光子波函數沒有物質粒子那樣的幾率詮釋，而只是表征光場能量的空間幾率分布，與薛心猿意馬諤、泡利和狄拉克各自關于電子的量子力學方程里的波函數不成同日而語。J. E. Sipe的光子波函數為

4、光子的可計數性

對于有質量粒子，可計數性是一個輕易辨明的問題。對于有質量粒子，若何從量子力學的意義上區分兩個粒子組成的系統與波函數被歸一化 (normalized) 為2的單粒子系統呢？這個問題可從兩個方面來看。其一，就按照

計較質量、電荷這類物理量來說，固然對于兩個粒子構成的系統和波函數歸一為2的單粒子系統，成果都為2，但可能還存在其它性質可以區分這兩種景象，好比還存在其它的某種荷 (輕子數，重子數，…)，對前者的成果為2而對后者可能只為1。再者，好比對于電子這樣的自旋1/2的粒子，前者的波函數同后一種景象有更底子性的分歧。前者對應的總自旋應為0或1，爾后者對應的自旋只應該是1/2。其二，物質粒子間一般是有彼此感化的。兩粒子系統會因為彼此感化引入其它內容，故不會混同于波函數歸一于2的單粒子系統。量子理論中物質粒子的可計數性是沒有問題的。

與此相對，光場獨一的可計數物理量是量子化的能量，這也是光子概念的由來。普朗克詮釋的黑體輻射和愛因斯坦詮釋的光電效應中表示出來的光場能量之增減，具有量子化的表示，具體地就是在會商原子或其它物理系統能級躍遷時的近似“放出或接收一個光子或兩個光子”這樣的描述。除此之外，縱不雅其它的各類光的物理紀律和現象，不再能找到光子可以清楚計數的例子。如前所述，若光子之間有某種彼此感化，計數便有了依據。然而分歧模式的光場之間沒有彼此感化。若是存在其它的某種荷，計及荷的總量，則計數也有可行的根本，但光場也不具備這種性質。當然，我們注重到光子具有自旋為1的性質，它能沿動量偏向投影為+1和-1 (這與電子系統當總自旋為1時，其投影可為1, 0, -1 分歧) 。對此，J. E. Sipe曾指出：“引進自旋和軌道角動量在光場中長短物理的，只有螺旋性(helicity)在光場中才有意義”[6]。事實上，若光子具有為1的自旋，則按照關于自旋可加性的那套法則，必會帶來多光子系統會有總自旋為2，3，…的狀況，但現實上沒有這樣的光子多體理論。這里的底子原因仍在于，沒有單光子在空間中切實存在的物理實際。

5、有質量粒子與光子的互補性比力

前面闡發了物質粒子與光 (子) 系統素質上的一些分歧。我們也注重到，兩個分歧條理的量子化都引入了一個配合的物理內容，那就是互補性道理。每一個自由度都具有一對正則坐標和正則動量算符，它們知足必然的對易關系。記正則坐標為Q，正則動量為P，對易關系為

此中的不確定度界說為算符的均方差。

對易關系(10)對應傅里葉變換的數學，所謂不確定性所對應的數學關系很早之前就獲得了，它不具有出格的意義，或者說它需要我們專門在量子力學語境下付與其某些物理意義。物理系統在量子理論的框架下，具有互補性和響應的不確定性關系，這是量子化前提帶來的成果。可是，物質粒子與光子系統各自的互補性和不確定性關系卻有分歧的物理寄義。這是本文出格想強調的一點。先會商物質粒子的互補性及不確定關系。為簡單計，只考慮一維景象為例。一維粒子系統的正則坐標算符就是粒子的位置算符x，正則動量算符就是粒子的動量算符p，兩者的對易關系如(5)式, 則按照 (10)-(11)式，不確定關系為

逆變換為

至此我們可以看出, 有質量粒子和光場有不異的正則量子化敘事，可是前者是自坐標-動量算符對引入的湮滅-發生算符對，爾后者的挨次恰好相反。筆者意識到，這恰好是關頭問題地點。一個天然的問題是，光子和物質粒子一樣有動量-位置不確定關系嗎？或者說，變換(17)式引入的算符Q(k, l)和P(k, l)別離對應光子的位置和動量這兩個物理量嗎？

關于算符Q(k, l)和P(k, l)是否可別離理解為光子的位置和動量這兩個物理量，文獻[4]的1.3節有相關內容的闡述。對于平面電磁波場，

“正則算符對較著地載有場的依靠于相位的訊息，并在表征和檢測場的壓縮態中起到主要感化。” 然而，這里的正則算符只是和光場的振幅及相位有關的量，不具有位置或動量的物理寄義。文獻[7]會商光場的嘗試檢測, 也強調測量是關于電磁場物理量的檢測，談不上是關于光子位置和動量的檢測。光學嘗試中，將光電倍增管狹縫的位置作為光子的位置，或者將光-固體感化后留下的微納米標準的黑點作為光子的位置，都是手動強加 (put in by hand) 的位置信息，是沒有理論支撐的。成立于其上的就雙縫干與得來的關于光子量子性的會商，有當真推敲的需要。對光子的熟悉之旅，我們也許還只是處于起頭的階段。

6、玻色-愛因斯坦統計與光子的可計數性

可計數性是數學得以成立的根本概念。孤立出待研究的系統，對近似不異的分立系統計數也是物理得以成立的前提。光子的可計數性應該作為一個問題嚴厲地加以看待。光子概念的內在還一向是光的能量量子，光具有粒子性，不料味著光子可以與有質量粒子相混同。有人或許會辯駁道，我們已經有了光子的統計紀律，統計紀律的推導過程應該以光子可數為前提啊？這里可能存在曲解，應借助概念的汗青演化予以消解。成立在可數統計上的光子統計紀律，并未包管有可操作的光子的計數。現實上，玻色獲得黑體輻射公式的第三種推導，推導過程中是把光的能量量子放到相空間的單胞 (cell) 里的，而單胞的數量是用系統的相空間體積除以獲得的。關于這個做法，用玻色的原話說，是沒啥好說的[8]。筆者之一曹則賢注重到，這現實上是因為用光的能量-動量關系寫出相空間的體積元時剛好含有因子，除以這個因子獲得一個可看成數量的無量綱量罷了。玻色的這個推導過程沒用到光子的可計數性。玻色的成果引出的一個結論不是光子質量為零，而是光子的化學勢為零。愛因斯坦按照玻色的開導，緊接著獲得了單原子抱負氣體的、近似光的統計紀律[9, 10]，但他只是用了有質量粒子的能量-動量色散關系罷了, 并且長短相對論性的能量-動量關系。玻色-愛因斯坦統計之于一般有質量粒子和光子在表達上的分歧，區別不是粒子質量的有無問題。也就是說，即便在玻色-愛因斯坦統計的語境中，把光子看成零質量粒子也得不到關于光子的物理紀律。趁便說一句，統計之分為玻色-愛因斯坦統計和費米-狄拉克統計，針對的是粒子的自旋而非質量。

7、相對論語境中光的特別性

有趣的是，在相對論的語境中，光同物質粒子同樣是要區別看待的。光速不變是愛因斯坦作為其成立狹義相對論的一個公設利用的，當然后來人們熟悉到光速不是變不變的問題—不存在關于若何改變光速的動力學。此刻接管的表述是，光速在任何參照框架內都取同樣的值，即我們拔取統一個 c 用于參照框架下的時空坐標暗示 (x, y, z ; ct)。然而，若我們細心檢視一番，會發現光速與粒子速度從概念上就有底子的分歧。物質粒子速度是矢量，依靠于參照框架，有決議其若何轉變的動力學。反不雅光速，在狹義相對論的時空坐標暗示 (x, y, z ; ct)中它就是一個參數，不具有矢量的性質，這當然是擔當自其在麥克斯韋波動方程里的腳色，一個參數，純粹的標量。更主要的是，在麥克斯韋理論中，

，來自兩個自力的物理常數，在此語境中底子沒有引入參照框架的啟事。也就是說，不是光速是一個不依靠于參照框架的常量，而是針對光就沒有參照框架一說。其實，這可能恰好映照了這樣的事實，對于場這種全局性的概念，本沒有參照框架的存在來由[2]。光速是嵌入有質量粒子的動力學理論的一個常數，令m=0不克不及獲得關于光的任何行為。

8、結語

考查量子力學、相對論和統計力學中關于光場的處置體例，以及光子概念的由來和應用，我們有來由認為近似“光子是無質量的粒子”這樣的表述是不切當的。光子的概念一向是作為能量量子呈現的，光子的可計數性缺乏物理實際的和物理理論的撐持。談論光子的位置是沒有意義的，更不消說光子的位置-動量不確定性關系了。固然，普朗克和愛因斯坦用光子的概念詮釋黑體輻射和光電效應時，心目中簡直是把光子看成可計數粒子對待的，但那可以理解為在量子理論發端之初的經典物理概念的慣性使然。比及關于光 (子) 和其它粒子的更多熟悉慢慢成立起來，光子看成可計數的粒子，尤其是看成無質量粒子，就更顯得掉于偏頗了。基于光子可計數性的物理嘗試有謹嚴檢討的需要。此外，就相對論而言，光沒有參照框架，沒有關于光速改變的動力學；就統計物理而言，光的統計同有質量粒子的玻色-愛因斯坦統計之間的不同也不是光子質量為零的問題。注重到這些關于光 (子) 性質的嚴酷描述和背后的嚴酷物理圖像，可作為我們進一步深切理解光 (子) 的起頭。

本文首發于《物理》2019年第11期。

參考文獻

[1] G. N. Lewis, The conservation of photons, Nature 118, 874 (1926).

[2] 曹則賢，相對論-少年版，科學出書社(2019).

[3] P. A. M. Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc. London A 114, 243 (1927).

[4] Girish S. Agarwal, Quantum optics, Cambridge University Press (2013).

[5] T. D. Newton and E.P. Wigner, Localized states for elementary systems, Rev. Mod. Phys. 21, 400(1949).

[6] J. E. Sipe, Photon wave functions, Phys. Rev. A 52, 1875(1995).

[7] Marlan O. Scully，M. Suhail Zubair， Quantum Optics, Cambridge University Press (1997).

[8] S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Z. Phys. 26, 178-181(1924).

[9] Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitz. Ber. d. Berl. Akad. 261-267(1924).

[10] Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Sitz. Ber. d. Berl. Akad. 3–14 (1925).

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發表于 2019-12-01 02:00
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