什么是規范形式(Canonical Form)？

幾乎所有的數學對象都可以用多種方式表達。例如，分數2/6相當于5/15和-4/-12。規范形式是數學家用來描述編碼中給定類中的對象的特定模式，獨特的方式。類中的每個對象都有一個與規范形式模板匹配的規范表示。數學家發現...

幾乎所有的數學對象都可以用多種方式表達。例如，分數2/6相當于5/15和-4/-12。規范形式是數學家用來描述編碼中給定類中的對象的特定模式，獨特的方式。類中的每個對象都有一個與規范形式模板匹配的規范表示。

數學家發現規范形式特別有用對于有理數，正則形式是a/b，其中a和b沒有公共因子，b是正的。這樣一個分數通常被描述為"最低條件"。當放入規范形式時，2/6變成1/3。如果兩個分數相等，它們的規范表示是相同的。

規范形式是數學家用來以編碼的、獨特的方式描述給定類中的對象的特定模式典型形式并不總是表示數學對象的最常見方式。二維線性方程組的標準形式是通過+C=0，其中C為1或0。然而數學家在進行基本計算時通常使用斜率截距形式-y=mx+b斜率截距形式不是規范的；它不能用來描述直線x=4。數學家發現規范形式在分析抽象系統時特別有用，其中兩個對象可能看起來明顯不同，但在數學上是等價的。圓環圖上所有閉合路徑的集合與所有有序對的集合具有相同的數學結構（a，整數的b）。數學家如果用規范形式來描述這兩個集合，就很容易看出這種聯系。這兩個集合具有相同的規范表示，因此它們是等價的。要回答一個關于甜甜圈曲線的拓撲問題，數學家可能會發現回答等價物更容易，關于有序整數對的代數問題。許多研究領域使用矩陣來描述系統。矩陣是由它的單個項定義的，但這些項通常不表示矩陣的性質。典型形式幫助數學家知道兩個矩陣在某種程度上是相關的，否則可能不明顯。布爾代數是邏輯學家描述命題時使用的結構，有兩種典型形式：析取范式和合取范式。這兩種范式分別在代數上等價于多項式的因式分解或展開式。一個簡短的例子說明了這種聯系學校可能會說："足球隊必須在前兩場比賽中贏一場，并在第三場比賽中擊敗對手黃蜂隊，否則教練將被解雇"此聲明在邏輯上可以寫成（w1+w2）*H+F，其中"+"是邏輯"或"運算，"*"是邏輯的"and"運算。此表達式的析取范式是w1*H+w2*H+F。其合取范式為（w1+w2+F）*（H+F）。這三個表達式在完全相同的條件下都是真的，因此它們在邏輯上是等價的。工程師和物理學家在考慮物理系統時也會使用標準形式。有時一個系統在數學上與另一個系統是相似的，即使它們看起來一點也不相似用于建模一個系統的微分矩陣方程可能與用于建模另一個的微分矩陣方程是相同的，當系統以規范形式（如可觀察的規范形式或可控的規范形式）進行轉換時，這些相似性就變得明顯了。

發表于 2020-08-23 13:29
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分類：科學教育

什么是規范形式(Canonical Form)？

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