如何預測美國人口

此示例表明，使用中等程度的多項式通過推斷數據來預測未來是一項冒險的業務。該示例比MATLAB?早。它始于1977年由Prentice-Hall出版的Forsythe，Malcolm和Moler撰寫的“數學計算的計算機方法”中的一項練習。現在，MATLAB和HandleGraphics?使更改參數和查看結果變得更加容易，但是基本的數學原理沒有改變。這是1900年至2000年的美國人口普查數據。

東西/原料

matlab軟件
電腦

方式/步調

1
在號令窗口，輸入如下:
% Time interval
t = (1900:10:2000)';
% Population
p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 ...
150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';
% Plot
plot(t,p,'bo');
axis([1900 2020 0 400]);
title('Population of the U.S. 1900-2000');
ylabel('Millions');
按“Enter”鍵。
得如下圖1所示。
2
您對2010年的生齒有何猜想？
輸入如下號令：
p
按“Enter”鍵。
得如下圖2所示。
3
讓我們用t中的多項式擬合數據并將其外推到t =2010。多項式中的系數是經由過程求解包含11 x 11 Vandermonde矩陣的線性方程組而獲得的，該矩陣的元素是標度時候的冪，A（i，j）= s（i）^（nj）;
程序如下：
n = length(t);
s = (t-1950)/50;
A = zeros(n);
A(:,end) = 1;
for j = n-1:-1:1
A(:,j) = s .* A(:,j+1);
end
擬合數據p的度為d的多項式的系數c是經由過程求解線性方程組而獲得的，該線性方程組涉及Vandermonde矩陣的最后d + 1列： A（：，n-d：n）* c?= p
4
若是d小于10，則方程式多于未知數，而且最小二乘法是合適的。若是d等于10，則方程可以切確求解，而且多項式現實上是對數據進行插值的。無論哪種環境，都可以利用MATLAB的反斜杠運算符來解決該系統。這是三次擬合的系數。
輸入如下程序：
c = A(:,n-3:n)\p
按“Enter”鍵。
得如圖3所示。
5
此刻，我們評估1900年至2010年之間每年的多項式并繪制成果。
程序如下：
v = (1900:2020)';
x = (v-1950)/50;
w = (2010-1950)/50;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z+15,num2str(z));
hold off
按“Enter”鍵。
如圖4所示。
6
比力三次擬合和四次擬合。請注重，外推點很是分歧。
程序如下：
c = A(:,n-4:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z-15,num2str(z));
hold off
按“Enter”鍵。
如圖5所示。
7
跟著度數的增添，外推變得加倍不不變。
程序如下：
cla
plot(t,p,'bo')
hold on
axis([1900 2020 0 400])
colors = hsv(8);
labels = {'data'};
for d = 1:8
[Q,R] = qr(A(:,n-d:n));
R = R(1:d+1,:);
Q = Q(:,1:d+1);
c = R\(Q'*p); % Same as c = A(:,n-d:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,11);
plot(v,y,'color',colors(d,:));
labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)];
end
legend(labels, 'Location', 'NorthWest')
hold off
按“Enter”鍵。
如圖6所示。