什么是決定因素(Determinant)？

矩陣是變換形狀的數學對象。方陣a的行列式表示為| a |，是一個數字，它總結了a對圖形大小和方向的影響。如果[ AB ]是a的頂行向量，[ c d ]是它的下排向量，那么| a |= ad bc 一個行列式編碼有關矩陣如何變換區域的有用信息。...

矩陣是變換形狀的數學對象。方陣a的行列式表示為| a |，是一個數字，它總結了a對圖形大小和方向的影響。如果[AB]是a的頂行向量，[c d]是它的下排向量，那么| a |=ad bc

一個行列式編碼有關矩陣如何變換區域的有用信息。行列式編碼有關矩陣如何變換區域的有用信息。行列式的絕對值表示矩陣的比例因子，它拉伸或收縮圖形的程度。其符號表示矩陣是否翻轉圖形，產生鏡像。矩陣也可以使區域傾斜并旋轉，但行列式不提供這種信息。從算術上講，矩陣的變換作用是由矩陣乘法決定的。如果a是一個2×2矩陣，其中頂行[a b]和底行[c d]，則[10]*a=[AB]和[01]*A=[c d]，這意味著A將點（1,0）指向點（A，b），將點（0,1）指向點（c，d）。所有矩陣都不移動原點，因此可以看到A將端點位于（0,0）、（0,1）和（1,0）的三角形轉換為另一個端點為（0,0），（A，b）和（c）的三角形，d）。這個新三角形的面積與原始三角形的面積之比等于|ad bc|，即| A的絕對值。矩陣行列式的符號描述矩陣是否翻轉形狀。考慮到端點位于（0,0）、（0,1）和（1,0）的三角形，如果矩陣A保持點（0,0,1,0，1）靜止時將點（1,0）移到點（-1,0），然后它將三角形翻轉到直線x=0上。由于A翻轉了圖形，| A |將為負數矩陣不會改變區域的大小，所以| a |必須是-1才能符合| a |的絕對值描述a拉伸圖形的規則。矩陣算法遵循關聯律，即（v*a）*B=v*（a*B），這意味著先用矩陣a變換形狀，再用矩陣B變換形狀的組合作用，就相當于用乘積（a*B）來變換原來的形狀，由此可以推斷出| a |*| |=| a*B | a |*| B | a*B | a | | | | | | | | | | | B | | | | | | | |A的作用不能被另一個矩陣B撤銷。這可以通過注意，如果A和B是逆的，那么（A*B）既不會拉伸也不會翻轉任何區域，所以| A*B |=1。由于| A |*| B |=| A*B |，這最后的觀察導致了不可能的方程0*| B |=1。相反的說法也可以顯示：如果A是非零行列式，則A有一個逆。在幾何上，這是任何矩陣的作用，它不會使一個區域變平。例如，將一個正方形擠壓成一個線段，可以被另一個稱為它的逆的矩陣撤銷。這樣的逆矩陣是倒數矩陣的模擬。

發表于 2020-09-07 22:49
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分類：科學教育

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