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    什么是陪護(Coset)？

    陪集是數學群的一種特殊類型的子集，例如，可以考慮7，{…-14，-7，0，7，14…}的所有整數倍的集合，它可以表示為7Z。每個數加上3就生成了集合{…-11，-4，3，10，17…}，數學家稱之為7Z 3。后一個集合稱為由3生成的7Z陪集14等于-14，以此類推。...
    陪集是數學群的一種特殊類型的子集，例如，可以考慮7，{…-14，-7，0，7，14…}的所有整數倍的集合，它可以表示為7Z。每個數加上3就生成了集合{…-11，-4，3，10，17…}，數學家稱之為7Z 3。后一個集合稱為由3生成的7Z陪集14等于-14，以此類推。還有，把7的倍數加上另一個7的倍數，就得到了7的倍數。數學家對此的描述是，在加法運算下，7的倍數是“閉合的”。這兩個特征就是為什么7Z被稱為加法下整數的子群。只有子群有陪集。所有立方數的集合，{…-27，-8，-1，0，1，8，27…}，與7Z沒有相同的陪集，因為它在加法下不閉合：18=9，9不是立方數。同樣，所有正偶數的集合，{2，4，6，…}，不具有陪集，因為它不包含反義詞。這些規定的原因是每個數都應該正好在一個陪集中。在{2，4，6，…}的情況下，6在由4生成的陪集中，在由2生成的陪集中，但是這兩個陪集是不完全相同的，這兩個條件足以保證每個元素都在一個陪集中。陪集存在于任何一個群中，而且有些群比整數復雜得多。一個有用的群是在不改變正方形覆蓋區域的情況下移動一個正方形的所有方法的集合旋轉90度，形狀沒有明顯變化同樣地，它可以垂直、水平或通過對角線翻轉，而不改變正方形所覆蓋的區域。數學家稱之為D4。D4有八個元素。如果兩個元素將所有的角放在同一個位置，則認為兩個元素是相同的，所以順時針旋轉四次就等于什么都不做，記住了，這八個元素可以表示為e，r，r2，r3，v，h，dd，和dd，“e”表示什么都不做，“r2”表示做兩次旋轉。最后四個元素中的每一個都表示翻轉正方形：垂直、水平或沿著其向上或向下傾斜的對角線。整數是一個交換群，這意味著它的運算滿足交換定律：32=23。D4不是交換的。旋轉一個正方形然后水平翻轉它不會像翻轉它然后旋轉它那樣移動角點。在非交換組中工作時，數學家通常用一個*來描述這個操作。一點工作表明，旋轉正方形然后水平翻轉它，r*h與將其向下對角線翻轉是一樣的。因此，r*h=dd。翻轉正方形然后旋轉它就相當于在它的上對角線上翻轉它，因此，在D4中順序很重要，因此在描述陪集時必須更加精確。當處理整數時，短語“由3生成的7Z的陪集”是明確的，因為在7的每個倍數的左邊或右邊加上3并不重要。但是對于D4的子群來說，不同的階會產生不同的陪集，根據前面的計算，r*H，r-等于{r，dd}，而H*r等于（r，du}。比較右陪集和左陪集時，不適用兩個不同陪集中沒有元素的要求H的右陪集與其左陪集不匹配，并不是D4的所有子群都有這個性質，可以考慮正方形所有旋轉的子群R，R={e，R，r2，稍加計算，它的左陪集與右陪集是相同的。這樣的子群稱為正規子群。正規子群在抽象代數中非常重要，因為它們總是編碼額外的信息。例如，R的兩個可能的陪集就等于平方的兩個可能的情況“被翻轉”和“廣場還沒有被翻轉”
    • 發表于 2020-09-07 23:01
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    • 分類：科學教育

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