你真會數數嗎：1+2+3…= -1/12 ？

數學家們又來挑戰你的智商了！問：1+2+3+...=？通過對加法“和”的巧妙定義，居然可以算出1+2+3+...=-1/12！？這并非數學家在故弄玄虛，而是借用了解析延拓的思想和極限的概念來計算這一無窮級數的結果。在這里我們還將看到怎樣才能算是一個好的數學科普視頻。

這個月的早些時候，“數字狂”（Numberphile）上發布了一個視頻，聲稱全部正整數的和是-1/12。

我一直是“數字狂”的忠實粉絲，它對數學的詮釋讓數學變得妙趣橫生而且通俗易懂，但是這個視頻讓我失望了。把數字-1/12和級數1+2+3+4（譯注：級數，指有限個或無限個數字相加的和）用一種有意義的方式聯系起來是完全可以的，但是我認為把它叫做該級數的和卻有誤導性。再者，那段視頻中的推導涉及到了一個我作為一名數學教育工作者經常遇到的情況，即數學家們往往不給出明確原因就隨意使用定理或概念，這讓學生們摸不清在某個條件下，什么是成立的什么是不成立的。在一個關于這段視頻的評論中，物理學家斯蓋斯庫爾博士（Dr.Skyskull）說：“很多人對數學有一種成見，認為數學是非直覺的、古怪的魔法，只有那些超高智商的人類才可能通曉。而（數字狂）不加解釋地放出這么一個瘋狂的結論，只會讓人們更加堅信這一看法。在我看來，這是對數學的傷害。”

加法是一個二元的運算。你輸入兩個數字，得到一個數字。但是你可以把它拓展到更多數字。比如你想把三個數字相加，那么你可以先把其中任意兩個相加，再把第三個與前兩者的和相加。我們可以對任何有限個數字進行類似操作（交換律告訴我們不論相加的順序如何，得到的和是一樣的）。但是當我們試圖把無窮個數字相加時，我們就必須明確定義什么是加法。處理無窮項相加最常見的方法是運用“極限”的概念。

簡單地說，假設有無窮多個數，隨著加進去的數越來越多，它們的和越來越接近數L，那么我們就說這無窮多個數的和是L。如果L是有界的，則稱該級數收斂。收斂級數的一個例子是1/2+1/4+1/8+1/16…，這是一個收斂到1的級數。原因很簡單：從0開始，加上第一個數1/2之后，我們距離1有一半；加入第二個數之后，我們距離1有所剩距離的一半，以此類推，每加入一個數就向著1前進所剩距離的一半。

1/2+1/4+1/8...=1的直觀“證明”。圖片來自Hyacinth，維基百科Commons

發表于 2014-04-13 00:00
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