巧用極坐標變換求二元函數的極限

對于一些復雜的二元函數，我們沒法通過鄰域變形式來巧妙的處理極限問題，這里給大家介紹用極坐標變換的方法來化解這種尷尬，除此以外還會有其他的方法，這里的極坐標變換的法子很適合求趨于原點時的極限，以下會給大家舉一個例子，希望對你有所幫助。

操作方法

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題干給出的函數是分情況的，原點處的表達式為常數0，非原點處的函數表達式很復雜，如圖，要求我們驗證原點處的極限是否為0？
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這里就運用了極坐標變換的方法了，可能大家在高中數學選修中已經接觸到了極坐標的相關知識，這里令x，y分別為rcosθ，rsinθ。
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這里的參數r的幾何意義就是改點到極點的距離，θ表示改點與極軸的夾角，那么原函數趨于（0，0）的條件在極坐標下就變為r→0了，正好這里的r也滿足圓形鄰域的表達式。
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用極坐標變化表示出原函數的關系式，中間能約分的約分，能合并的合并，需要用到三角函數的知識，最終化簡如下。
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很顯然sin函數是恒≦1的，那么就可以放縮到如下步驟
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最后根據二元函數極限的定義，來確定δ的取值，那么函數趨于原點的極限就是0了。
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【總結】
一般遇到比較復雜，又是求點(0，0)的極限可以采用極坐標變換的方法來簡化問題，這道題目就很好的運用了。
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