三體、蝴蝶效應……它們共同構成了模糊而混亂的混沌現象

出品：科普中國

制作：中國科學院數學與系統科學研究院黃逸文

監制：中國科學院計算機網絡信息中心

混沌的建立

20世紀60年代，美國數學家斯梅爾在研究典型電路性態的完整分類時開創了現代動力系統理論，從而打開了一扇奇妙的大門。沿著這扇門，深入探險的數學家發現了越來越多神奇的現象。1975年，李天巖和約克發表了他們最深刻的研究成果。在那篇注定流芳百世的論文里，他們引入了術語“混沌（Chaos）”來描述離散動力系統周期解的一個奇妙的規律——時間不是連續變化，而是按整數步跳躍。不僅如此，早期的相關研究還表明，很多類似的動力系統會呈現出更加復雜的形態，其數學解雖然有一定的確定性，但也具備若干隨機性。自此，混沌理論的基礎框架開始形成。

蝴蝶效應

事實上，自龐加萊對三體問題的突破性研究之后，人們陸續發現了更多的混沌現象，其中最著名的當屬1963年氣象學家洛倫茲發現的蝴蝶效應。洛倫茲在用計算機求解一個簡化的大氣對流模型時，發現這些解以不規則、甚至是隨機的方式震蕩。

同時，初值的極小波動會引起解的劇烈變化。這種奇異的現象后來成了人們耳熟能詳的描述：一只巴西熱帶雨林中的蝴蝶煽動幾下翅膀，可能在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。

圖洛倫茲的蝴蝶吸引子

混沌系統將人們帶入了前所未有的窘境。很多基于現實問題的預測也變得無比困難。雖然短期的預測結果能符合現實，但長期的預測卻無能為力。這也是天氣預報的準確性隨著時間而急劇衰減的原因。進一步，人們還發現，太陽系的動力學特性也是混沌的。人們預測的范圍最多只能延伸到1000萬年左右。1億年后的太陽系命運已經不在人們的預知范圍內。

然而，混沌雖然帶來了模糊和混亂，卻也在宇宙的演化中發揮著巨大的作用。比如，月球的潮汐讓地球保持了穩定，否則地球表面的天氣會出現混沌運動，導致冰川和暖期在短時間內交替出現。也因此，沒有月亮的地球極有可能變成一個人間地獄，不再適合生命的居住。

湍流中的混沌

2000年，美國克雷研究所向世界拋出了七大數學難題，每一個問題都被懸賞一百萬美元，其中的難題之一就是描述流體運動的Navier-Stokes方程。

流體運動根據運動的復雜性分為層流和湍流。層流的運動相對平穩，湍流卻突變毫無規律。湍流可能在流體的運動里導致災難性的結果，比如大氣層里的湍流是飛機遭遇危險的主要因素之一。盡管還存在著部分爭議，湍流也被部分數學家認為是混沌的一種特殊現象。

流體運動作品（圖片來源于網絡）

混沌與分形

那么，混沌究竟意味著什么？它在理論和現實中還有多少不為人知的秘密和應用？

其實，混沌并不是孤立的自然異類，早在19世紀末期，人們就曾憑借著天馬行空的奇思妙想發現了同樣詭異的理論。數學家魏爾斯特拉斯在1872年構造了一個函數，它處處連續，但是卻處處沒有導數。這表明一個物體可以做連續運動，運動軌跡卻可以雜亂無章，任何時刻都沒有確定的運動速度。

半個世紀以后，理查森在一篇論文里以“風有速度嗎？”來描述這類奇特的數學現象。令人驚奇的是，這和數學上異軍突起的分形理論緊密地聯系在了一起。

每當冬季來臨，雪花漫天紛飛。人們在顯微鏡下觀察雪花，卻發現微小的雪晶呈現出既規律又復雜的結構。雪晶的局部結構形態和其全局結構形態高度相似。

20世紀60年代，芒德布洛特認識到這類無限可分的精細結構具有重大的理論意義，遂將具有這種“自相似”結構的形體稱為“分形”。具有分形特征的物體在直觀上更是顛覆人們的想象，比如一條可以鋪滿整個空間的曲線，一條圍住一個有限區域的無限長的曲線。

“分形”的每一個局部都是整體的一個微縮投影。漸漸地，人們在大自然中發現，原來處處都是造物主的分形杰作：山脈、河流、海洋、流云……由此而誕生了一門新的數學學科“分形學”，并派生出了“分形圖形學”。人們發現，諸如樹枝的形狀、河流的分支，甚至股市的漲跌都是符合分形幾何的描述。

復雜的時代

在三體、蝴蝶效應中展現出來的混沌，連同幾何學里大放異彩的分形思想，共同形成了今天的混沌理論。

如果說過去的科學理論是隱匿在象牙塔里的寶藏，優雅、和諧而壯美，它們解決的問題都是表象世界的統一，深具美感和封閉性，其自成一體的理論將復雜的世界還原成簡單的公理，堪稱確定性的輝煌。

那么，今日的科學卻要面對真實的世界，那一系列無法由簡單規則刻畫和描述的規律、難以預測和掌控的現象，以及那些再也無法用經典的模型和方式來應對的情境。

諸如森林、海島、漁場等等復雜的生態系統，又或者是海岸線、冰川、河流等復雜而不規則的結構，已經在大自然中存在了數億年，人們熟悉它們的場景，感嘆大自然的鬼斧神工，卻始終沒觸及到大自然蘊含的科學真理。直到混沌理論的建立，人們對復雜性系統才有了深入的理論研究，短短幾十年間，已經涌現出大量全新的數學方法與觀點。

復雜性理論誕生在以多種概念和方法相互沖擊和融合為特征的當代，已經成為人們認識世界最強有力的工具之一。

混沌的未來

盡管看起來無章可循，混沌卻有其重要的應用——混沌控制。既然擾動會帶來破壞性的結果，那么尋找合適的小擾動，也可以起到四兩撥千斤的效果。

太空旅行中，通過混沌控制也許就能使用極少的燃料實現星際穿梭。混沌里的蝴蝶效應更可以在醫學上一展宏圖，諸如控制心律失常、抑制癲癇等等，甚至還能讓湍流過渡為平穩的運動，減少飛機的危險。

與此同時，分形的誕生也很快在數學、理化、生物、大氣、海洋以及社會學引起劇變，其影響力甚至波及音樂和美術。它呈現出的玄機和美感引發人們持續地探索。

混沌和分形等等復雜現象的出現，也成為牛頓的確定科學論終結的標志之一，科學也隨之進入更加多元、復雜的時代。復雜系統的命運無法預測，已經從根本上改變了人們的世界觀和方法論。科學的發展不能預知，人類自身的命運也一樣。因此，未來世界才有無限可能性，等著后人去創造和開拓。

參考文獻：

《數學的故事》，伊恩.斯圖爾特著,熊斌汪曉勤譯,上海世紀出版股份有限公司, 上海辭書出版社。 ISBN: 978-7-5326-3859-8/o.69。